双曲函数系列

定义

　　双曲函数（Hyperbolic Function）包括下列六种函数：

　　sinh / 双曲正弦： sinh(x) = [e^x – e^(-x)] / 2

　　cosh / 双曲余弦： cosh(x) = [e^x + e^(-x)] / 2

　　tanh / 双曲正切： tanh(x) = sinh(x) / cosh(x)=[e^x – e^(-x)] / [e^x + e^(-x)]

　　coth / 双曲余切： coth(x) = cosh(x) / sinh(x) = [e^x + e^(-x)] / [e^(x) – e^(-x)]

　　sech / 双曲正割： sech(x) = 1 / cosh(x) = 2 / [e^x + e^(-x)]

　　csch / 双曲余割： csch(x) = 1 / sinh(x) = 2 / [e^x – e^(-x)]

　　其中，

　　e是自然对数的底

　　e≈2.71828 18284 59045…= 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + 1/5!…+ 1/n! +…

　　e^x 表示 e的x次幂,展开成无穷幂级数是:

　　e^x=x^0/0! + x^1/1! + x^2/2! + x^3/3! + x^4/4! + x^5/5!…+ x^n/n! +…

　　如同点 (cost,sint) 定义一个圆，点 (cosh t, sinh t) 定义了右半直角双曲线 x^2 − y^2 = 1。这基于了很容易验证的恒等式

　　cosh^2(t) – sinh^2(t) = 1

　　和性质 t > 0 对于所有的 t。

　　双曲函数是带有复周期 2πi 的周期函数。

　　参数 t 不是圆角而是双曲角，它表示在 x 轴和连接原点和双曲线上的点 (cosh t, sinh t) 的直线之间的面积的两倍。

　　函数 cosh x 是关于 y 轴对称的偶函数。

　　函数 sinh x 是奇函数，就是说 -sinh x = sinh -x 且 sinh 0 = 0。

实变双曲函数图像的基本性质

　　y=sinh(x).定义域：R.值域：R.奇函数.函数图像为过原点并且穿越Ⅰ,Ⅲ象限的严格单调递增曲线,当x->+∞时是(1/2)e^x的等价无穷大.函数图像关于原点对称.

　　y=cosh(x).定义域：R.值域：[1,+∞).偶函数.函数图像是悬链线，最低点是(0,1),在Ⅰ象限部分是严格单调递增曲线，当x->+∞时是(1/2)e^x的等价无穷大.函数图像关于y轴对称.

　　y=tanh(x).定义域：R.值域：(-1,1).奇函数.函数图像为过原点并且穿越Ⅰ,Ⅲ象限的严格单调递增曲线.其图像被限制在两渐近线y=1和y=-1之间.lim[x->+∞,tanh(x)=1],lim[x->-∞,tanh(x)=-1].

　　y=coth(x).定义域：{x|x≠0}.值域：{x||x|>1}.奇函数.函数图像分为两支,分别在Ⅰ,Ⅲ象限,函数在(-∞,0)和(0，+∞)分别单调递减.垂直渐近线为y轴，两水平渐近线为y=1和y=-1.lim[x->+∞,coth(x)=1],lim[x->-∞,coth(x)=-1].

　　y=sech(x).定义域：R.值域：(0,1].偶函数.最高点是(0,1),函数在(0,+∞)严格单调递减.x轴是其渐近线.lim[x->∞,sech(x)]=0.

　　y=csch(x).定义域：{x|x≠0}.值域：{x|x≠0}.奇函数.函数图像分为两支,分别在Ⅰ,Ⅲ象限,函数在(-∞,0)和(0，+∞)分别单调递减.垂直渐近线为y轴，两水平渐近线为x轴.lim[x->∞,csch(x)]=0.

与三角函数的关系

　　双曲函数与三角函数有如下的关系:

　　* sinh x = -i * sin(i * x)

　　* cosh x = cos(i * x)

　　* tanh x = -i * tan(i * x)

　　* coth x = -i * cot(i * x)

　　* sech x = sec(i * x)

　　* csch x = i * csc(i * x)

　　i 为虚数单位,即 i * i = -1

恒等式

　　与双曲函数有关的恒等式如下:

　　cosh^2(x) – sinh^2(x) =1

　　coth^2(x)-csch^2(x)=1

　　tanh^2(x)+sech^2(x)=1

　　* 加法公式：

　　sinh(x+y) = sinh(x) * cosh(y) + cosh(x) * sinh(y)

　　cosh(x+y) = cosh(x) * cosh(y) + sinh(x) * sinh(y)

　　tanh(x+y) = [tanh(x) + tanh(y)] / [1 + tanh(x) * tanh(y)]

　　* 减法公式：

　　sinh(x-y) = sinh(x) * cosh(y) – cosh(x) * sinh(y)

　　cosh(x-y) = cosh(x) * cosh(y) – sinh(x) * sinh(y)

　　tanh(x-y) = [tanh(x) – tanh(y)] / [1 – tanh(x) * tanh(y)]

　　* 二倍角公式：

　　sinh(2x) = 2 * sinh(x) * cosh(x)

　　cosh(2x) = cosh^2(x) + sinh^2(x) = 2 * cosh^2(x) – 1 = 2 * sinh^2(x) + 1

　　* 半角公式：

　　cosh^2(x / 2) = (cosh(x) + 1) / 2

　　sinh^2(x / 2) = (cosh(x) – 1) / 2

　　双曲函数的恒等式都在圆三角函数有相应的公式。Osborn’s rule指出：将圆三角函数恒等式中，圆函数转成相应的双曲函数，有两个sinh的积时(包括coth^2(x), tanh^2(x), csch^2(x), sinh(x) * sinh(y))则转换正负号，则可得到相应的双曲函数恒等式。如

　　* 三倍角公式：

　　sin(3 * x) = 3 * sin(x) − 4 * sin(2 * x)

　　sinh(3 * x) = 3 * sinh(x) + 4 * sinh(2 * x)

反双曲函数

　　反双曲函数是双曲函数的反函数. 它们的定义为:

　　arsinh(x) = ln[x + sqrt(x^2 + 1)]

　　arcosh(x) = ln[x + sqrt(x^2 – 1)]

　　artanh(x) = ln[sqrt(1 – x^2) / (1 – x)] = ln[(1 + x) / (1 – x)] / 2

　　arcoth(x) = ln[sqrt(x^2 – 1) / (x – 1)] = ln[(x + 1) / (x – 1)] / 2

　　arsech(x) = ± ln[1 + sqrt(1 – x^2) / x]

　　arcsch(x) = ln[1 – sqrt(1 + x^2) / x] , 如果 x < 0

　　ln[1 + sqrt(1 + x^2) / x] , 如果 x > 0

　　其中,

　　sqrt 为 square root 的缩写 , 即平方根

双曲函数与反双曲函数的导数

　　(sinh(x))’=cosh(x)

　　(cosh(x))’=sinh(x)

　　(tanh(x))’=sech^2(x)

　　(coth(x))’=-csch^2(x)

　　(sech(x))’=-sech(x)tanh(x)

　　(csch(x))’=-csch(x)coth(x)

　　(arcsinh(x))’=1/sqrt(x^2+1)

　　(arccosh(x))’=1/sqrt(x^2-1) (x>1)

　　(arctanh(x))’=1/(1-x^2) (|x|<1)

　　(arccoth(x))’=1/(1-x^2) (|x|>1)

双曲函数与反双曲函数的不定积分

　　∫sinh(x)dx=cosh(x)+c

　　∫cosh(x)dx=sinh(x)+c

　　∫sech^2(x)dx=tanh(x)+c

　　∫csch^2(x)dx=-coth(x)+c

　　∫sech(x)tanh(x)dx=-sech(x)+c

　　∫csch(x)coth(x)dx=-csch(x)+c

　　∫tanh(x)dx=ln(cosh(x))+c

　　∫coth(x)dx=ln|sinh(x)|+c

　　∫sech(x)dx=arctan(sinh(x))+c=2arctan(e^x)+c1=2arctan(tanh(x/2))+c2

　　∫csch(x)dx=ln|coth(x)-csch(x)+c=ln|tanh(x/2)|+c

　　∫[1/sqrt(x^2+1)]dx=arcsinh(x)+c=ln(x+sqrt(x^2+1))+c

　　∫[1/sqrt(x^2-1)]dx=sgn(x)arccosh|x|+c=ln|x+sqrt(x^2-1)|+c

　　(sgn是符号函数.sgn(x)=x/|x|,x≠0;sgn(x)=0,x=0)

双曲函数与反双曲函数的级数表示

　　sinh(z)=z+z^3/3!+z^5/5!+z^7/7!+…+z^(2k-1)/(2k-1)!+… (z∈C)

　　cosh(z)=1+z^2/2!+z^4/4!+z^6/6!+…+z^(2k)/(2k)!+… (z∈C)

　　arcsinh(z)=z-(1/6)z^3+(3/40)z^5-(5/112)z^7+…+(-1)^k[(2k-1)!!/(2k)!!][z^(2k+1)/(2k+1)]+… (|z|<1)

　　arctanh(z)=z+z^3/3+z^5/5+z^7/7+…+z^(2k-1)/(2k-1)+… (|z|<1)

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