代数语言（基础）

代数语言（基础）

0.引言

本文介绍离散数学中代数语言的基础知识，以下三条是我们需要知道的：

​ 代数的核心是运算。

​ 运算是某个集合的运算。

​ 运算要具有封闭性。（比如：减法不是自然数集的运算）

1.交换律、结合律

这两个大家应该都知道，所以不再复述

2.单位元、零元

单位元：集合A的一个元素a称为运算★的单位元，如果对A的任意元素 x 都由 x ★ a = x, 且a ★ x = x。

​ （没有假定该运算满足交换律）（单位元也称幺元）

例如：0是实数集加法运算的单位元，1是实数集乘法运算的单位元。

​ 实数集的减法、除法不存在单位元。

零元：集合A的一个元素a称为运算★的零元，如果对A的任意元素 x 都由 x ★ a = a, 且a ★ x = a。

例如：0是实数集乘法运算的零元。

​ 实数集的加法、减法、除法运算不存在零元。

3.逆元

逆元：设运算★有单位元e。对集合A的任意元素a，若存在元素b使得 a ★ b = e, 且 b ★ a = e，则称b是a关于运算 ★的逆元。

例如：实数a关于加法运算的逆元是 -a

​ 当a ≠ 0时，实数a关于乘法运算的逆元是1/a（0关于乘法运算没有逆元）

4.分配律

分配律：设●也是集合A的运算，如果对A的任意元素x, y, z都有 x ★（ y ● z ）=（ x ★ y ）●（ x ★ z ）且

​ （ y ● z ）★ x =（ y ★ x ）●（ z ★ x ）,则称运算★对●有分配律。

例如：实数集的乘法运算对加法运算满足分配律，但加法对乘法没有分配律。

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