误差与有效数字

绝对误差

绝对误差：$e=x^{\ast }-x$，其中$x$为近似值，$x^{\ast }$为精确值。
$|e|$的上限记为$ϵ$，称为绝对误差限，记为$x=x^{\ast }\pm ϵ$

相对误差

相对误差：$e_r=\frac{e}{x^{\ast }}$
x的相对误差上限为${ϵ}_r=\frac{ϵ}{|x^{\ast }|}$

注：实际中相对误差限${ϵ}_r$不如绝对误差限$ϵ$，常用$|\frac{ϵ}{x}|$来求得。

有效数字

有效数字：设$x^{\ast }$的近似值是$x=\pm 0.a_1{a}_2\dots a_n\times 10^m$，其中 a i ∈ { 0 , 1 , 2 , ⋯   , 9 } a_i \in \lbrace 0, 1, 2, \cdots, 9 \rbrace ai​∈{
0,1,2,⋯,9}，m为整数，如果有
$|e|=|x^{\ast }-x|<\frac{1}{2}\times 10^{m-n}$
则称近似值x具有n位有效数字或称x精确到$10^{m-n}$位，其中$a_1,a_2,\cdots ,a_n$都是x的有效数字，也称x为有效数字的近似值。

定理1

设近似值$x=\pm 0.a_1{a}_2\cdots a_n\times 10^{m-n}$其中$a_1\ne 0$，有n位有效数字，则x的相对误差限为${ϵ}_r\le \frac{1}{2a_1}\times 10^{-n+1}$.

定理2

设近似值$x=\pm 0.a_1{a}_2\cdots a_n\times 10^m$其中$a_1\ne 0$，相对误差限为${ϵ}_r=\frac{1}{2(a_1+1)}\times 10^{-n+1}$，则x至少有n位有效数字。

定理1与定理2展现了有效数字的位数与相对误差限的关系。

例1
设$x=2.72$表示$e$具有3位有效数字的近似值，求近似值的对误差限。
解：$x=2.72=0.272\times 10^1$根据定义$a_1=2$，$n=3$， $m=1$。由定理1有
${ϵ}_r\le \frac{1}{2a_1}\times 10^{-n+1}\le \frac{1}{2\times 2}10^{-3+1}=0.25\times 10^{-2}$.

例2
要使$\sqrt{20}$的近似值的相对误差限小于0.1%，要取几位有效数字？
解：$\sqrt{20}$的首位数字为4，即$a_1$ = 4，设x有n位有效数字，则${ϵ}_r=\frac{1}{2\times 4}\times 10^{1-n}<=0.001$得$n\ge 3.097$，n为正整数，则$n=4$.

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