2021年MathorCupD题思路

某钢材生产制造商的钢材切割流程如图 1 所示。其中开卷上料环节将原材料钢卷放在开卷机上，展开放平送至右侧操作区域（见图 2）。剪切过程在剪切台上完成，剪切台上依次有切头剪和圆盘剪。

圆盘剪（见图 3）用旋转的圆盘刀片连续对纵向运动着的原材料进行切割。在圆盘剪剪切前，需根据订单切割方案进行排刀。假设排刀架上可以以任意间距排刀，但刀具数量是有限制的，一次排刀上限不能超过 5 刀。用同一排刀方案切割得到的订单称为一组订单，切割不同组时需要工人重新排刀，称为一次换刀。切割每卷原材料之间均需要换刀。切头剪为“一刀切”，即将整个钢板横向完全切断。图 4-1 中的横向切割（红色虚线所示）不满足一刀切要求，无法用切头剪实现，图 4-2 的横向切割（红色虚线所示）则符合要求。

经过横向切割后，当且仅当某些订单还需要额外横向一刀将其与废料分开，则将这些订单移至小机器再次切割（见图 4-2 蓝色虚线）。同一组内相同订单可以通过一刀同时变成成品。钢材切割订单有两种，分别是板料订单和卷料订单。切完的板料订单直接通过下料小车包装入库，卷料则需要先通过卷取机压臂成卷再入库。

原料在切割成品的同时若有剩余，且符合余料标准（见附件 2），则可将这部分按照余料标准回收入库，供下次切割使用。不符合余料标准的称为废料，必须丢弃。成材率定义为，被切割成成品的面积加上可回库的余料面积与使用原料总面积之比。

更详细的切割说明可参考附件 1 某原材料切割方案说明.xlsx。
工厂未来一批订单需求已给出，订单需求数量必须恰好满足（不允许超额供应）。根据工厂现有原料切割订单，每种原料的使用数目不能超过其库存。请建立数学模型解决下面的问题。

问题 1：针对给出的所有原料，请使用最少张数的原材料，满足对 5种卷料的要求（不考虑浮动比例），同时尽量提高总的成材率，给出切割方案。

问题 2：针对给出的所有原料，请使用最少张数的原材料，满足对所有订单的要求（不考虑浮动比例），同时尽量提高总的成材率，给出切割方案。

问题 3：圆盘剪每次排刀需要人工更换刀在排刀架上的位置，同时若有材料需要被移到小机器上再次切割也需要人为操作。为减少人力成本，希望尽量减少换刀数和在小机器上切割数。针对给出的所有原料，请使用最少张数的原材料，满足对所有订单的要求（不考虑浮动比例）。同时尽量减少换刀数和在小机器上切割数，并尽
量提高总的成材率。给出切割方案。

问题 4：若订单额外指定了浮动比例，则交付的订单长度可在需求长度的基础上上下浮动。例如，规定浮动比例为 5%，则切割出的长度在原有长度的 95%到 105%之间均满足要求。请重新按照第 2 问的要求，给出切割
方案。

思路

是一个二维的优化类问题，或者说背包问题、集装箱问题有些相似，但在难度上更上一层，因为题目中的原料表中有10种原料，相当于有十种背包/集装箱，且各类原料的数量不一。

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