矩阵论——正交向量

矩阵论——正交向量向量正交子空间正交基正交四个基本子空间的关系行空间与零空间正交,列空间与ATA^TAT的零空间正交。零向量和任意向量正交。

向量正交:向量 u u u与向量 v v v正交 ⟺ u ⋅ v = 0 ⟺ u ⊥ v \Longleftrightarrow u\cdot v = 0\Longleftrightarrow u\bot v uv=0uv
子空间正交:子空间S与子空间T正交 ⟺ \Longleftrightarrow S中的每个向量与T中的每个向量均正交.
基正交

四个基本子空间的关系在这里插入图片描述

左侧将 R n R^n Rn划分为两个子空间 ⟷ \longleftrightarrow 行空间和零空间在 R n R^n Rn内互为正交补充1.
右侧将 R m R^m Rm划分为两个子空间 ⟷ \longleftrightarrow 列空间和左零空间在 R m R^m Rm内互为正交补充.
行空间与零空间正交,列空间与 A T A^T AT的零空间正交。
零向量和任意向量正交。


  1. 零空间包含所有垂直于行空间的向量。 ↩︎

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