单纯形法 — 求解线性规划

目前，运用最广的线性规划方法就是著名的单纯形方法。这种方法是G.B.Dantzig在1947年提出的。几十年的实践证明，单纯形方法的确是一种使用方便、行之有效的重要算法。如今，它已经成为线性规划的中心内容。
单纯形法的基本思路是有选择地取（而不是枚举所有的）基本可行解，即是从可行域的一个顶点出发，沿着可行域的边界移到另一个相邻的顶点，要求新顶点的目标函数值不比原目标函数值差，如此迭代，直至找到最优解，或判定问题无界。

线性规划问题及其表示

线性规划问题可表示为如下形式：

变量满足约束条件(8.2)-(8.5)式的一组值称为线性规划问题的一个可行解。

所有可行解构成的集合称为线性规划问题的
可行区域。

使目标函数取得极值的可行解称为
最优解。

在最优解处目标函数的值称为
最优值。

有些情况下可能不存在最优解。

通常有两种情况：

(1)根本没有可行解，即给定的约束条件之间是相互排斥的，可行区域为空集；

(2)目标函数没有极值，也就是说在n 维空间中的某个方向上，目标函数值可以无限增大，而仍满足约束条件，此时目标函数值无界。

例：

这个问题的解为 $(x_1,x_2,x_3,x_4) = (0,3.5,4.5,1)$最优值为$16$。

线性规划基本定理

约束条件(8.2)-(8.5)中$n$个约束以等号满足的可行解称为线性规划问题的基本可行解。
若$n>m$，则基本可行解中至少有$n-m$个分量为0，也就是说，基本可行解中最多有m个分量非零。
线性规划基本定理：如果线性规划问题有最优解，则必有一基本可行最优解。
上述定理的重要意义在于，它把一个最优化问题转化为一个组合问题，即在(8.2) -(8.5)式的$m+n$个约束条件中，确定最优解应满足其中哪n个约束条件的问题。
由此可知，只要对各种不同的组合进行测试，并比较每种情况下的目标函数值，直到找到最优解。
Dantzig于1948年提出了线性规划问题的单纯形算法。
单纯形算法的特点是：
（1）只对约束条件的若干组合进行测试，测试的每一步都使目标函数的值增加；
（2）一般经过不大于$m$或$n$次迭代就可求得最优解。

约束标准型线性规划问题的单纯形算法

当线性规划问题中没有不等式约束(8.2)和(8.4)式，而只有等式约束(8.3)和变量非负约束(8.5)时，称该线性规划问题具有标准形式。
先考察一类更特殊的标准形式线性规划问题。这一类线性规划问题中，每一个等式约束中，至少有一个变量的系数为正，且这个变量只在该约束中出现。
在每一约束方程中选择一个这样的变量，并以它作为变量求解该约束方程。这样选出来的变量称为左端变量或基本变量，其总数为m个。剩下的n-m个变量称为右端变量或非基本变量。
这一类特殊的标准形式线性规划问题称为约束标准型线性规划问题。
虽然约束标准型线性规划问题非常特殊，但是对于理解线性规划问题的单纯形算法是非常重要的。
任意一个线性规划问题可以转换为约束标准型线性规划问题。

例：

任何约束标准型线性规划问题，只要将所有非基本变量都置为0，从约束方程式中解出满足约束的基本变量的值，可求得一个基本可行解。
单纯形算法的基本思想就是从一个基本可行解出发，进行一系列的基本可行解的变换。
每次变换将一个非基本变量与一个基本变量互调位置，且保持当前的线性规划问题是一个与原问题完全等价的标准线性规划问题。
基本可行解$x=(7,0,0,12,0,10)$。

单纯形法计算步骤如下：

单纯形算法的第1步：

选出使目标函数增加的非基本变量作为入基变量。
查看单纯形表的第1行（也称之为$z$行）中标有非基本变量的各列中的值。
选出使目标函数增加的非基本变量作为入基变量。
z行中的正系数非基本变量都满足要求。
在上面单纯形表的z行中只有1列为正，即非基本变量相应的列，其值为3。
选取非基本变量$x_3$作为入基变量。

单纯形算法的第2步：

选取离基变量。
在单纯形表中考察由第1步选出的入基变量所相应的列。
在一个基本变量变为负值之前，入基变量可以增到多大。

如果入基变量所在的列与基本变量所在行交叉处的表元素为负数，那么该元素将不受任何限制，相应的基本变量只会越变越大。
如果入基变量所在列的所有元素都是负值，则目标函数无界，已经得到了问题的无界解。
如果选出的列中有一个或多个元素为正数，要弄清是哪个数限制了入基变量值的增加。
受限的增加量可以用入基变量所在列的元素（称为主元素）来除主元素所在行的“常数列”（最左边的列）中元素而得到。所得到数值越小说明受到限制越多。
应该选取受到限制最多的基本变量作为离基变量，才能保证将入基变量与离基变量互调位置后，仍满足约束条件。
上例中，惟一的一个值为正的z行元素是3，它所在列中有2个正元素，即4和3。
$min\{{12\over 4},{10\over 3}\}=4$，应该选取$x_4$为离基变量；
入基变量x3取值为3。

单纯形算法的第3步:

转轴变换。
转轴变换的目的是将入基变量与离基变量互调位置。
给入基变量一个增值，使之成为基本变量；
修改离基变量，让入基变量所在列中，离基变量所在行的元素值减为零，而使之成为非基本变量。

解离基变量所相应的方程，将入基变量$x_3$用离基变量$x_4$表示为$x_1-\frac{1}{2}x_2+\frac{1}{4}x_4=3$

再将其代入其他基本变量和所在的行中消去$x_3$，

$$x_1+\frac{5}{2}x_2+\frac{1}{4}x_4+2x_5=10\\ x_6-\frac{5}{2}x_2-\frac{3}{4}x_4+8x_5=1$$

代入目标函数得到$z=9+\frac{1}{2}x_2-\frac{3}{4}x_4-2x_5$
形成新单纯形表

单纯形算法的第4步：

转回并重复第1步，进一步改进目标函数值。
不断重复上述过程，直到z行的所有非基本变量系数都变成负值为止。这表明目标函数不可能再增加了。
在上面的单纯形表中，惟一的值为正的z行元素是非基本变量$x_2$相应的列，其值为$1\over 2$。
因此，选取非基本变量$x_2$作为入基变量。
它所在列中有惟一的正元素$5\over 2$，即基本变量$x_1$相应行的元素。
因此，选取$x_1$为离基变量。
再经步骤3的转轴变换得到新单纯形表。

新单纯形表z行的所有非基本变量系数都变成负值，求解过程结束。
整个问题的解可以从最后一张单纯形表的常数列中读出。
目标函数的最大值为11；
最优解为：$x^*=(0,4,5,0,0,11)$。

例子

上述方法严格按照步骤，虽然思路清晰，但过程冗长，不方便操作。下面用表格形式的单纯形方法来解上题。

在引进松弛变量，并将问题转化成标准形式后，建立初始单纯形表：


上述题目求解的是目标函数的min,下面再分享一道求解目标函数max的情况。两种情况极其类似，只是在判别式选择上的差异。