1. 磁盘I/O问题

众所周知，相较于计算机指令的执行速度，访问磁盘所带来的开销是十分巨大的。对于一段需要访问磁盘的程序，程序运行的时间几乎都花费再了磁盘的I/O上。 也就是说，在这种情况下，如果我们可以将磁盘的访问次数减少一般，那么程序的运行时间也将减半。

当数据量较少，可以完全存储在内存时，数据的访问相对来说是比较快的，类似AVL树、红黑树等数据结构可以将操作数据的时间复杂度控制在O(log2N)。当数据量很大时，无法将其存储在内存当中，只能退而求其次，存储在磁盘中；由于磁盘I/O速度的限制，此时大O模型将不再适用，磁盘的I/O次数决定了程序的时间成本。

针对数据被存储在磁盘中的情况，常规的平衡二叉树已经不能很好的满足我们的需求。因此，我们需要一种新的查找树结构，这种新的树结构可以在相同数据量时拥有更低的高度（树的高度决定了数据操作的最大访问次数）。

2. B-树

为降低树的高度，很自然的一个想法就是让树有更多的分支，B-树就遵循了此想法——既然一个节点有两个分支不够，那就让它拥有尽可能多的分支。B-树的所有节点都携带数据（这也是它和B+树的主要区别），由于它是一颗查找树，因此需要一个“排序”的依据，将此排序的依据成为关键码，每个关键码都关联着具体的数据元素。也就是说，节点的关键码个数也代表着节点存储的数据元素的个数。

B-树又被称为B树，B代表Balanced，即平衡的意思。一棵M阶的B-树有如下的特点：

1. 根节点或是一片叶子，或是拥有 2 到 M 个个孩子；

2. 除根外，所有非叶子节点都包含k-1个关键码和k个孩子，其中 ceil(M/2) <= k <= M（ceil表示向上取整，如ceil(2.5) = 3）；

3. 每一个叶子节点都包含k-1个关键码，其中 ceil(M/2) <= k <= M；

4. 所有的叶子结点都位于同一层；

5. 每个节点中的关键码都遵循从小到大的排列，节点中的k-1个关键码正好可以划分出k个孩子。

单纯的看B-树的定义显得比较的抽象，可以通过具体的插入和删除操作进一步的理解B-树的结构。

2.1 B-树的插入操作

简单的来说，B-数的插入操作可以分为以下几种情况：

• 插入后不破坏B-树规则，则直接插入；

• 插入后该节点的关键码个数超出规定范围（M-1），则进行分裂操作；

• 分裂操作后相当于父节点插入了一个新元素，递归的向上执行插入逻辑。

以M = 5为例（即一颗5阶的B-树），图例中蓝色代表新插入的元素，绿色代表插入前就已经存在的元素：

1. 向空树中插入2（插入根节点）：

   

2. 继续依次插入1、10、3（找到合适的位置插入即可），可以看到根节点中的关键码遵循从小到大的排列：

3. 继续插入9后，此时根节点的关键码个数增加到5个（大于M-1），需要执行分裂操作（找到位于中间的关键码，进行拆分），分裂后根节点与其子树均符合B-树的特性：

   

4. 继续插入18、12、44，又一叶节点的关键码达到5个，继续分裂，中间元素被“上提”到父节点：

查找树的插入操作一般都会选择将新元素作为叶子节点插入，每次插入后，如果没有破坏B-树的规则，则插入结束；如果破坏了B-树的规则（插入操作中主要指关键码个数超出规定），则向进行分离操作，然后递归的检查父节点是否符合B-树的规则。

2.2 B-树的删除操作

一般来说，删除操作都会比插入操作更加的复杂，B-树也是如此。简单的来说B-树的删除可以分为以下几种情况：

• 被删除的关键码位于叶子节点，且删除后不破坏B-树规则，则直接删除；

• 被删除的关键码位于叶子节点，删除后该节点关键码个数小于ceil(M/2)-1，则根据其兄弟节点的关键码个数，执行借关键码（兄弟节点的关键码足够）或合并（兄弟节点的关键码不足）操作；

• 合并叶子节点后，父节点的关键码-1，相当于删除了内部节点的关键码，递归的执行删除逻辑即可；

• 被删除的关键码位于内部节点，则根据该关键码的左右子节点的关键码个数，执行借关键码（子节点的关键码足够）或合并（子节点的关键码不足）操作；类似的，合并后递归的向上执行删除逻辑。

继续以M = 5为例，首先构造了一颗元素“较多”的B-树，然后对其进行删除操作，被删除的元素被表示为红色：

1. 构造了一颗5阶的B-树：

   

2. 删除3，由于被删除的关键码存在于叶子节点，且删除后关键码个数符合B-树的规则，因此可以直接删除：

   

3. 删除25，删除后该叶子节点的关键码数为1，小于ceil(M/2)-1，此处需要根据其兄弟节点是否有足够的关键码（大于等于ceil(M/2)），有则向兄弟节点借一个，没有则进行合并操作。显然该节点的右兄弟存在足够的关键码，因此只需要向兄弟节点“借“一个关键码即可（父节点下移一个关键码，兄弟节点上移一个关键码）：

   

4. 删除98，删除后面临和3中类似的情况，不同的是该叶子节点的兄弟节点没有足够的关键码可以借给它。此时，需要将该节点、该节点的兄弟节点以及父节点对应的关键码进行合并。合并操作会让父节点的关键码-1（相当于内部节点删除了一个元素），如果合并后父节点的关键码数不足，则递归的执行内部节点的删除操作：

   

5. 删除31，被删除关键码所处的节点为内部节点，从内部节点中删除关键码首先需要观察“关键码对应的左右子节点”是否有足够的关键码，有则向子节点借一个，没有则进行合并。显然，此时31的右子节点有足够的关键码：

   

6. 删除31，删除后面临和5中类似的情况，不同的是此时子节点没有足够的关键码，因此执行合并操作。合并后父节点关键码-1，递归的向上执行删除逻辑：

   

3. B+树

B+树是B-树的变体，也是一种多路搜索树，它与B-树类似，并规定了：

• 非叶子节点不保存指向数据的指针，只进行数据索引（简单的来说就是只存放关键码，不保存数据）；

• 为所有叶子结点增加了一个链指针；

• 内部节点中一个关键码对应一个子节点（B-树中子节点个数比关键码个数多1），关键码是子节点中最大（或最小）的元素。

也就是说，B+树的数据都被保存在了叶子节点中，为什么要这么做呢？

回顾引入B-树的过程，选取B-树的初衷是为了降低树的高度，以减少磁盘I/0的次数。一般来说，树的每一个节点都对应着一个磁盘区块，节点中存储元素的大小限制了节点存储元素的个数，即影响了最终所获的树的高度，从而影响磁盘I/O的次数。 B-树中的每个节点都保存着关键码和指向数据的指针，它们共同构成了前面所说的“元素”，如果可以减小元素的大小，就可以进一步的降低树的高度。

由于多路查找树的增删查操作都依赖于关键码，因此关键码是必须保留的，但数据指针在查找过程中却不是必须的，因此可以只保存在叶子节点中。B+树就是遵循了此原理，它的内部节点只保存了关键码（以及子节点的索引），不保存数据指针，所有的数据都被保存在了叶子节点中：

• 使B+树获得更低的高度，从而减少磁盘I/O的次数；

• 由于数据都存储在叶子节点中，且叶子节点都位于同一层，所以查找操作是稳定的（每一次查找都需要相同的次数）；

• 同时，因为所有叶子节点形成了一个有序链表，范围查询变得更加便利了。

下面给出了一个B+树了示例：