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支持向量机浅析

支持向量机(SVM,support vector machine)是一种二类分类模型，其基本模型定义为特征空间上的间隔最大的线性分类器，其学习策略便是间隔最大化，最终可转化为一个凸二次规划问题的求解。

线性分类器

线性回归模型的公式为：
$y=w^T X +b$

广义线性回归模型的公式为：
$y=g(w^T X +b)$

分类任务的预测值是离散的，比如二分类问题，可以用0和1来表示两个类别，通过样本训练，即可得到线性分类器。

间隔最大超平的含义

我们的任务是找到一个线性分类器（
$w^T X +b$），将样本分开，以图中二维坐标为例，能完成分割任务的有无数条线，如何确定一个最近的线性分类器呢?

泛化性能是分类器好坏的一个重要指标。图中所观察到的样本都是训练样本，我们希望面对未来的样本数据，分类器也有良好性能。

一般而言，相同类别样本的距离较近，同时根据结构风险最小化原则，线性分类器的决策边界最大，则边界的泛化误差最小。图中B2的决策边界到B2的距离明显小于B1,泛化性能较差。寻找间隔最大的超平面，实际上是找部分关键样本点，使得它们到超平面的距离最大。

线性支持向量机原理

训练数据集: D={(x_1,y_1),(x_2,y_2),…,(x_n,y_n)},y{-1,+1}

线性分类器决策边界的线性方程:
$y=w^T X +b$,其中w表示超平面的法向量，决定了决策边界的方向，b表示位移量，决定了决策边界与原点间的距离。

训练数据集中的样本点,如果为正类，那么
$y_i = +1$,
$w^T X +b > 0$;如果为负类，那么
$y_i = -1$,
$w^T X +b < 0$;

在训练过程中，我们可以不断的调整决策边界的超参数w和b，总可以得到：
$\begin{cases}w^T x_i +b >=+1 , y_i=+1;\\w^T x_i +b <=-1 , y_i=-1, \end{cases}$

此时，距离决策边界最近的样本点，刚好使得上式中等号成立，这些关键样本点，就叫做支持向量，两个异类支持向量（关键样本点）之间的距离（margin）称为决策边界的“边缘”，这个边缘的距离就是我们要找的最大间隔，决策边界B1对应的一组平行的超平面（b11,b12）之间的距离,将间隔记为
$\gamma$。

将样本点
$x_1,X_2$ 带入上式，得：
$\begin{cases}b11: w^T x_1 +b =1 ;\\ b12:w^T x_2 +b =-1 , \end{cases}$两式相减得：
$w^T(x_1-x_2)=2$, （
$x_1-x_2就是x_1x_2$的模乘上夹角余弦值），这里再变换最终得到
$\parallel w\parallel \times\gamma=2$

支持向量机的学习就是，寻找参数w,b，使得
$\frac {2}{\parallel w\parallel}$取得最大值。等价于寻找参数w,b，使得
$\frac {1}{2}\parallel w\parallel^2$取得最小值，优化函数为：
$y_i(w^T x_i +b)>=1,i =1,2,…,n$,具体优化函数的求解可以使用拉格朗日乘子法求解。

案例

案例根据y=0.5x+0.5,y=2.1x+6.5两个函数为基准,引入了较大的随机误差后，各生成了100个样本点。生成的样本有明显的线性边界，我们尝试使用支持向量机模型，找出决策边界，并进行绘制软间隔分类决策边界。

from sklearn.svm import LinearSVC
import numpy as np
import pandas as pd
import random
import  matplotlib.pyplot as plt #类似 MATLAB 中绘图函数的相关函数
import seaborn as sns

np.random.seed(2)
count=100
data=[]
for i in range(count):
    x1=np.random.normal(0.00,0.55)
    res1=x1*0.1+0.5+np.random.normal(0.00,0.9)
    data.append([x1,res1,1])
    
    x2=np.random.normal(0.00,0.55)
    res2=x2*2.1+6.5+np.random.normal(0.00,0.9)
    data.append([x2,res2,0])

data =pd.DataFrame(data)
# print(data[data[2]==1])
x1_data=np.array(data[0])
x2_data=np.array(data[1])
plt.scatter(x1_data,x2_data,c=data[2])
plt.show()


#Pipeline通过将这些数据处理步骤结合成一条算法链，以更加高效地完成整个机器学习流程
svm_clf = Pipeline(( ("scaler", StandardScaler()),
                     ("linear_svc", LinearSVC(C=1, loss="hinge")) ,))

# 调用linear_svc
svm_clf = svm_clf.fit(data.iloc[:,:2], data[2])

# SVC求解可视化函数
def decision_boundary( model) :
    # 取出两个坐标轴的上下限
    xmin, xmax, ymin, ymax =x1_data.min(), x1_data.max(), x2_data.min(), x2_data.max()

    # 坐标轴等分为50份，共可创建50x50=2500个点
    xloc = np.linspace(xmin, xmax, 50)
    yloc = np.linspace(ymin, ymax, 50)

    # 相当于一个数据复制的作用，将shape=(n,)的数据变为shape=(n,n)
    xloc, yloc = np.meshgrid(xloc, yloc)

    # 组合坐标点coordinate, 将(n, n)的数据展开成(n*n, )的数据在组合为坐标
    coo = np.vstack([xloc.ravel(), yloc.ravel()]).T
    
    # 通过decision_function函数计算出每个点到决策边界的距离
    dis = model.decision_function(coo)
    
    # contour要求X，Y，Z具有相同的维度，所以需要将预测结果reshape
    dis = dis.reshape(xloc.shape)
    
    # 画出原始数据的散点图
    plt.scatter(x1_data,x2_data, c=y)
    
    # 添加决策边界和两个超平面
    plt.contour(xloc, yloc, dis, alpha=.8, linestyles=['-', '--', '-'], levels=[-1, 0, 1])
    
    plt.show()
    
    

decision_boundary(svm_clf)