小白入门 A/B Testing 之正态分布

标准正态分布

A/B Testing 离不开统计学知识，统计学中最重要的一点就是正态分布（normal distribution）

这是一张德国马克，大家可以看到中间还有一个数学图表，它就是伟大的数学家高斯发明的正态分布，所以也叫高斯分布。

这是一张典型的标准正态分布曲线，Y 轴表示随机变量， X 与曲线围成的面积就是发生的概率。

它有什么含义呢？拿一个实际例子来说，当我们对中国成年男性做一个抽样，我们会发现大多数集中在 167cm 左右。身高差 167cm 越多的人数越少，很高或很矮的人很少。简单的说，以 167 为中心身两边递减。这样的例子还有很多，比如医院开的化验单，上面写的正常区间，就是一个正常的区间分布，也是根据抽样计算的结果，它不是说在这个范围之外就不正常，只是对于大多数人群，所以通常也叫常态分配。这样的例子还有很多，如智力，体重，KPI 等等，所有的一切证明了中央极限定率，（普通人还是占大多数的）。

它的公式是概率密度函数:

z 值就是我们经常要用到的一个概率密度。

那它有什么用呢？它的应用范围很广，只要我们想知道所有伴有随机因素影响的数据时，都可以用它得到一个相对精确的概率，比如我们要做的一个页面实验，可能受到人群，UI, 时间，网络等等因素影响，如果我们抽样得到其中一个指标，并用上面的公式计算一下，你会发现它也是一个非常典型的正态分配曲线，随着样本的增多，曲线会越来越光滑。曲线 X 轴中间是平均值，它的左右一个标准差之间的面积代表了机率是 68%，二个标准差之间是 95%，三个标准差是 99.7% 。所以如果我们想知道一个数据出现机率时，就可以用它来计算出来。

（好玩的是，如果我们统计一下我们的羽毛球选手获胜场次的挥拍数，也可以得到这么个曲线， 这样我们可以推算出大概他挥多少次拍会获得胜利。）

（在之后要提到的另一个概念置信区间，它就是根据这个规则，来限定 95% 做为我们合理的置信区间。落在其它区间的数据，我们认为它是不可信的，是小概率事件。这对于验证我们之前提到的第二种假设将会很有帮助。）

计算也非常简单，只要根据上面算出的 z 值，通过查表就可以通过百分比找到样本分数。有一个在线工具，大家可以试试。

t-分布

上面提到的分布曲线都是标准的正态分布(也叫 u-分布)，还有一种叫 t-分布，其实它也是正态分布的一种形式。可以应用在小样本来估算母体数据（全体数据）。

比如， 我们常听说的划分数线，也是利用了这个概率分布函数算出，百分之多少的人可以越过这个分数线。当然你可以说不如统计所有的分数，然后排序划百分比就行了，这确实是一个方法。不过万一我们要测量的这个数据量非常之大到呢，比如 TB 级的日志？

所以这时母群体的标准差是未知的，我们就可以运用 t-分布。在样本数量 n 比较小时，它的曲线往往比较平，随着样本量的逐渐增大，它会越来越接近标准正态分布。

上面的红线表示的是均值为-2，方差为1的正态分布曲线，蓝线表示的是均值为2，方差为4的正态分布曲线。从中可以看出，方差越小，图像越“瘦高”，方差越大，图形越“矮胖”。(方差越小，越靠近中位数)。方差小表示大家的平均值非常接近，反之离平均值越远。

t分布是一簇曲线，其形态变化与n（确切地说与自由度df）大小有关。自由度df越小，t分布曲线越低平；自由度df越大，t分布曲线越接近标准正态分布（u分布）曲线。

• t 分布是由英国著名统计学家哥色特发表，其笔名是“Student”，所以该分布又称为“Student t分布”。该分布的公布，标志着小样本统计推断的开始。

• 那有什么生活形态中，不是正态分布的呢？比如基尼指数，穷的越穷，富的越富，中间的反而很小。LOL