|●梯度下降是什么|●梯度下降算法原理|●梯度下降实例

在单变量函数求取最小值问题中，我们通常只要令f(x)的导数为0，然后解出x就可以。
在多元函数中，求偏导令偏导为0,解出x是非常困难的，

虽然n个自变量，能求得n条偏导等式。然而，只有这n条等式是线性方程组时，我们才有系统的方法对其求解。如果是非线性方程，我们目前并没有成熟的求解方案。

Pass：这也是为什么我们很喜欢构造线性问题，因为它能轻松求解。

所以，联立偏导方程求精确解的路子行不通，我们的替代方案就是进行数值求解，梯度下降法就是其中常用方法之一。

二、梯度下降算法思路

(一) 思路概览

梯度下降算法的思路是，
先取一个初始值x0，然后进行迭代。
每次都往梯度的反方向调整（在一维中即导数的负方向）它。
直到迭代条件终止（例如无法令f(x)的值下降，即达到局部最低点）。

(二) 关于梯度

在一元函数中，负梯度就是导数的反方向。
在多元函数中，负梯度就是各个变量偏导数的反方向。
它是函数下降最快的方向(即调整相同步长，负梯度能令f(x)下降最快)，故也称为最速下降法。

(三) 关于初始值

从算法原理，我们可以知道，梯度下降法对 x 的初始化非常敏感，因为它只能找到离初始值最近的局部极小值，如果初始化不好，找到的结果也不好。

往往是先随机初始化，然后多跑几次，看哪个结果好，就用哪一个。

三、算法流程

1.先初始化x的值(按个人经验初始化，或随机初始化，或设为0)
2.计算在处的梯度 $\text{d}x_0$ ，令 $x_1= x_0-\text{lr}*\text{d}x_0$ ,(lr为学习率，可设为0.1)
3.计算在处的梯度 $\text{d}x_1$ ,令 $x_2= x_1-\text{lr}*\text{d}x_1$ ,
4….如此类推….一直到满足停止迭代条件（达到迭代次数，或者与 $x_{k-1}$ 变化不大，或者与 $f(x_{k-1})$ 变化不大），最后的即为所要找的解。

简单的说，就是先初始化，然后按 $x_{k+1} = x_{k}-\text{lr}*\text{d}x_{k}$ 不断迭代就行

四.实例演示

(一) 问题

求为何值时，取得最小值。( 易知道，y的最小值在 =2,处取得，为0.)

下面展示用梯度下降法寻找解的具体过程，看结果是否与我们预期一致。

(二) 算法实际操作过程

第40次迭代时，dx1与dx2都极小，我们退出迭代，

以 $x = x_{40}= [1.999734154400843, 2.9996012316012646]$ 作为最终结果，此时函数值 2.2969011842121404e-07
与预期的 x= [2,3] , y=0 几乎一致。

(三) 代码实现

上例 python程序如下：
# -*- coding: utf-8 -*-
"""
梯度下降求y= (x1-2)^2+(x2-3)^2的最小解
"""
x1 = 0    # 初始化x1
x2 = 0    # 初始化x2
for i in range(100):
    
    #------计算梯度--------
    dx1 = 2*x1-4          
    dx2 = 2*x2-6
    
    #----- 往负梯度方向更新x------
    x1  = x1 - 0.1*dx1    
    x2  = x2 - 0.1*dx2
    #----- 如果梯度过小，则退出迭代 --------if((abs(dx1)< 0.001)  & (abs(dx2)< 0.001)):break
    print("第"+str(i+1)+"轮迭代:x=:["+str(x1)+","+str(x2)+"],y="+str((x1-2)**2+(x2-3)**2))
结果:
第1轮迭代:x=:[0.4,0.6000000000000001],y=8.32
第2轮迭代:x=:[0.7200000000000001,1.08],y=5.3248
第3轮迭代:x=:[0.976,1.464],y=3.4078720000000002
..................
第39轮迭代:x=:[1.9996676930010537,2.9995015395015807],y=3.588908100330732e-07
第40轮迭代:x=:[1.999734154400843,2.9996012316012646],y=2.2969011842121404e-07

五.算法的拓展理解

1.为什么按负梯度下降

《数学分析》中，负梯度方向是函数下降最快的方向，即x=[2,3],如果梯度为[1,2],则x往[1,2]方向调整，能令函数f(x)下降最快的方向（所谓最快，即调整同样的步长，该方向能令函数下降最快）
按负梯度下降，保证了调整方向的正确性。

2.为什么要设置学习率

目的是为了保证按梯度方向调整一定能下降。
梯度方向能下降是瞬时的，如果调整步长过大，则不一定能保证函数能下降，但只要调整步长足够小，函数就能下降（前提是梯度不为0）。
所以，我们在调整时，加入学习率lr，以控制步长： $x_{k+1}=x_{k}-\text{lr}*\text{d}x_{k}$

3、学习率的设置与自适应学习率

要保证能下降，学习率就不能过大，但学习率很小，每次迭代调整都很小，就需要迭代很多次。
为此，我们可以设定一个较中肯的学习率(例如，lr = 0.1)。
如果更智能一些，在程序中把学习率改为自适应学习率: 函数能下降，我们把学习率调大些，如果函数本次迭代不能下降，我们就把学习率调小些。
或者更智能的设置，这就属于梯度下降法的拓展了。
总的来说，
(1)按负梯度调整，加上学习率的控制，则能保证x的调整，函数一定能下降。
(2)按负梯度下降，由于负梯度是下降最快的方向，在下降速度上更加有效。

六.梯度下降法的弊端

(1) 遇到局部最优时，算法就停止，因为此时梯度为0。因此，该算法只能找到初始解x_0的局部最优，对跳出局部完全无反抗能力。
(2) 要求函数是连续的(可求偏导)

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一、问题背景

二、梯度下降算法思路

(一) 思路概览

(二) 关于梯度

(三) 关于初始值

﻿三、算法流程

四.实例演示

(一) 问题

(二) 算法实际操作过程

(三) 代码实现

五.算法的拓展理解

1.为什么按负梯度下降

2.为什么要设置学习率

3、学习率的设置与自适应学习率

六.梯度下降法的弊端

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