不同坐标系下角速度_悠悠球的物理学原理（下）

 悠悠球的物理学原理(上)

接着上周的故事，让我们继续悠悠球的探索之旅……

01稳定性与性能指标

现在的悠悠球运动有五大类的花式，感兴趣的朋友可以了解一下。不同门类花式的性能指标不尽相同。本文主要讲的是1A(单手线上花式，全世界80%的玩家玩的都是1A)球的基本性能指标。平时常见的指标有：抖振，动力感，走线流畅感，灵敏程度等等。其实不同的玩家手感不一样，没有一个统一的标准。但是，有些共性的东西可以探讨一下。

一般来讲，什么样的球算是好球呢？没有抖振，既动力十足又轻灵流畅。首先谈谈所谓的动力感。一个直观的印象，球的质量越大，其惯性就越大，转的时间也就越长。这是没有问题的，但现代悠悠球的质量往往是在一个特定的范围内的，一般65克左右，轻的(比如yoyofriend的蜂鸟，前面做测试用的death adder v2)有62克的，重的(比如rain city skills的SETI)有68克的，悠悠球的尺寸与硬度标准(包括绳子的承重)决定了它的重量，也就是说要利用有限的重量增加球的惯性，这就涉及到了前面提到的转动惯量J(如果对物理不是很了解，可以把它当作惯性的一个直接量化，这个越大，惯性越大)。前面假设的是悠悠球的质量均匀分布，于是：

另外考虑一种特殊情况，球的质量全都均匀分布在边缘(圈状)，这种情况下：

也就是相比均匀分布，其惯性增加了100%。这也是悠悠球设计的基本指导思想，尽可能的把质量集中在边缘，这就是动力感。

至于所谓的流畅和灵敏当然也和配重有关，不过很多细节没有统一标准，但有一点，好的球要尽可能地把总重量压低，由此镶金属环的球(Bi-Metal)应运而生。对于单一材质(铝)的金属球，为了增大转动惯量，需要在边缘加厚以获得合理配重。下面做一个简单估算，假设在原有均匀圆盘的基础上在其外圈增加一圈厚度为D的外环，外环的外半径就是圆环半径R，内径设为r。

设外环所用材料密度为ρ，则增加的转动惯量为：

现有两种材料，密度分别为ρ1和ρ2，那么为了获得同等的转动惯量增量，二者的内环r1和r2满足：

可以简单分析得到，密度大的物质，其内环r较大，其Δm较小。因此，比之于加厚悠悠球的边缘，不如在边缘镶上密度更大的金属环(比如铜，钢)可以在尽可能小的增加重量的同时增加惯性。不过，把两种金属镶在一起，为保证精度，其加工难度要大许多，因此成本更高。

关于球的另一项性能，抖振，影响最大的因素便是球的均匀性。均匀性分两点，第一是对于单片球体，其质心是否在中轴上，第二是对于两侧的球体，其质心在中轴上的位置是否相同。下面粗略地分析一下两种不均匀性对稳定性的影响。

若单片球的质心
偏离中轴线较多

空转时球的运动形式极为复杂，若想大致解析这种运动，需要用到刚体的Euler动力学方程，偏离主题过多(而且不均匀程度如此之高的球也是难得一见了，除非是经常拿来摔被摔变形的训练球和拿冲压铝片做的劣质球)。直观的讲，这种情况下两侧球体的角速度(以及轴心所在的直线)不在惯量主轴上，因此整个球体不会绕着球体的轴心线稳定转动，而是围绕着轴心方向的惯量主轴自转，并伴随着进动和章动，大致长成这样：

于是，在高速转动的情况下就会看到球变成模糊一团的绕核悠悠云(喂，悠悠云是什么鬼)。悠悠球的章动会导致球体的内壁和绳子刮到一起，进而产生巨大的摩擦，快速消耗球的转速，使球很快停转。这也就是为什么要保证球的均匀性。生产悠悠球时，一般是用数控机床加工整块的均匀铝锭以保证单片球体的均匀性。若不均匀就会出现球体抖动的情况。
若两侧球体的质心在中轴上的位置不相同

这种不对称性普遍存在，用绳子提起一个停止空转的球，往往会发现球偏向一侧：

这种偏离除了会使静止的球偏向一侧还会带来什么现象呢？为讨论问题方便，假设两侧球体的的质量相同，且质心都位于中轴线上，只是距离正中心的距离不同：

首先直觉上讲，即便在空转时，球也会像静止时那样侧偏，以平衡重心的不对称性：

这种现象也的确存在，一般来说球在空转一段时间后都会向某一侧侧偏，绳子会刮到球的内壁，加速衰减，若想维持空转，就需要把球摆正，这就用到了一项名为调绳的技术，稍后会谈。

另外还会存在一种效应，进动，即绕着绳子这个轴转动：

为了说明这种效应，把简化的球模型放到三维直角坐标系里：

假设重心位置d1>d2，则重力的力矩为：

即沿x轴正方向，大小为mg(d1-d2)。

再假设球绕y轴顺时针转动，角速度为Ω，转动惯量为I1。则角动量大小J1=ΩI1，方向指向y轴负方向。换句话说，重力矩始终保持水平方向并垂直于悠悠球的角动量：

在重力矩的作用下，角动量J1会绕着z轴逆时针转动，表现在悠悠球上，就是刚刚提到的进动，其进动角速度大致等于:

因为球的自转角速度Ω很大，中心的偏差又很小，所以一般进动的角速度非常小，以之前做测试的deathadder v2悠悠球来说，大概两分钟会绕着绳子转一圈。接下来讲讲前面提到的调绳。由于两侧球体重心的不对称性，在空转过程中，球体会渐渐向重心距离大的一侧倾斜，这个倾斜角度也取决于重心不对称程度和球的空转速度，量级上大致等于:

其中t为时间，计算比较繁琐，不放细节了。可以看到，因为空转速度很大，这个侧向倾斜的速度甚至远小于进动速度，但同时因为绳子的自由空间很小，距离两侧内壁距离很近：

所以倾斜很小的角度就会刮到一侧的内壁，这个大致在进动一周时会发生。一旦发生剐蹭，因为回收系统的摩擦力，会大大增加阻力，另外，如下图所示：

摩擦力矩：

其方向与角动量的方向呈钝角，会使角动量向自己的方向偏移，简言之，就是会使倾斜程度加大，进一步加大摩擦力矩，使空转衰减加剧。因此若想延长球的空转时间，需要在球倾斜的时候将球‘扶正’，这就是调绳。

调绳的方式很简单，在空转时通过实时调节绳子的松紧，从而利用绳子给球施加一个扭矩。比如上图的情况，需要用手指顺时针捻动离球较近处的绳子：

由此提供一个向下的扭矩，这样角动量就会向下演化，球就会被扶正。在测试球的空转性能时，调绳技术至关重要。再好的球，不调绳，其空转时间至多维持两三分钟，反之，一般的球在调绳的作用下，至少可以空转7分钟以上。

02 回收系统记得小时候玩的悠悠球很多会装一个离合器，作用就是自动回收悠悠球。关于离合器的介绍有很多，这里就简略说一下。离合器长这样：

当球高速转动时，在相对悠悠球球静止的非惯性坐标系下，离合器里面的钢球在离心力作用下压缩弹簧，使两个黑色的卡扣不接触轴心的螺丝。当速度降低到一定程度时，离心力不足以压缩弹簧使之与轴心分离，此使的卡扣会与轴心产生较大的摩擦力，将球的转动转化为整体向上运动的速度，实现对球的回收，因此这类回收器的回收转速都是固定的。这类回收器一般在新手入门球或玩具球中常见。因为其做不到收放自如，不利于玩各种花式。

而本文主要讲的是非离合器式回收系统。这些球主要分为两类，活睡眠和死睡眠。活睡眠球在睡眠时轻轻提一下绳子就能实现回收，而死睡眠球做不到，需要利用高速回收的技巧。事实上，除了2A，4A花式，1A,3A,5A花式用的都是死睡眠球，换句话说，回收的触发条件较为苛刻，这样球才不会在做花式的时候莫名其妙的自己收起，之前也有过一个哥们用活睡眠球玩1A花式因为球突然回收把牙打掉的悲惨传说。

但本质上，活睡眠和死睡眠的回收原理是一样的。都是通过拉动绳子使之在轴承位置折叠，增加与回收系统(比如挤压胶圈)之间的摩擦力，由此使球产生向上的速度，实现回收。

大致上，当球上升的速度和其因转动卷曲绳子的速度一致时，球开始回收，假定回收球时球的转速为ω0，球的质量为m，按照均匀圆盘估计球的转动惯量：

轴承尺寸(或者绳与球体的摩擦点距离中心点的距离)为d (远小于R)，瞬时摩擦力为f，那么由冲量-动量守恒：

由于失重，绳子拉力T≈0。由冲量矩-角动量守恒：

再由几何尺寸的约束关系：

可以得到：

也就是说，收球时球向上滚动的初始角速度基本等于收球前一刻的空转角速度，当动能足以克服重力势能上升到手中时，就实现了回收。因此，当球的空转速度较低时，回收难度比较大。所谓活睡眠和死睡眠，其区别就体现在与回收系统之间的瞬时摩擦力上。对于鼓形球来说，因为两瓣球体间距较小，绳子经过折叠容易增加与回收系统间的摩擦力，所以更容易成为一提就回收的活睡眠球，反之，蝶形球球体间距大，绳子因折叠提供的对两侧的压力较小，所以更容易成为死眠球。

但是，依旧存在死眠的鼓形球和活眠的蝶形球，这是因为轴承本身也有摩擦力，而且很关键。换句话说，整体回收用的摩擦力等于回收系统摩擦力加轴承的摩擦力(或者称之为轴承阻力，这份阻力会减少空转时间)。对于鼓形球，如果把轴承清洗干净，那么轴承阻力很小，总摩擦力也有可能不足以远大于重力，这样瞬时冲量不足以使球产生足够的向上速度，就成了死眠球。对于蝶形球，如果把轴承阻力加大，比如加润滑油(因为悠悠球轴承很小，滚珠更小，而质量很轻，这种时候润滑油反而起到的不是润滑效果，而是提供了粘滞阻力)，那么用于回收的摩擦力大大增加，很可能就变成活眠球了，当然，是否会有这种转变还取决于润滑油的量。那么前面提到的高速收球是怎么回事呢？所谓死眠球不是真的收不回来，只是要增加回收系统与绳子之间的摩擦力。原理如下：

通过双股绳子的缠绕，增加绳子堆叠的体积，从而加大挤压侧壁的压力，增加与胶圈的摩擦力，最终实现回收。

结语比之于玩具，悠悠球更是一种运动；而比之于运动，悠悠球更像一种指尖的舞蹈。笔者玩悠悠球好多年了，然则不思进取，学的花式寥寥无几，只是单纯喜欢这些精灵在手中翻飞的感觉，而并没有钻研出自己的玩球风格，不过这丝毫不影响本菜鸟对于这项运动的执着。除了悠悠爱好者的身份，笔者还是个高能物理狗，常年在外做合作组项目。国外的科研生活有时候是无聊而乏味的，悠悠球成了我日常调剂生活的好朋友。所以闲暇之余写了这个到处是不严谨近似的悠悠杂谈，以我自己的方式表达对这项运动的热爱。希望你也会喜欢上这项运动。

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