不同坐标系下角速度_悠悠球的物理学原理(下)

不同坐标系下角速度_悠悠球的物理学原理(下)悠悠球的物理学原理(上) 接着上周的故事,让我们继续悠悠球的探索之旅……01稳定性与性能指标现在的悠悠球运动有五大类的花式,感兴趣的朋友可以了解一下。不同门类花式的性能指标不尽相同。本文主要讲的是1A(单手线上花式,全世界80%的玩家玩的都是1A)球的基本性能指标。平时常见的指标有:抖振…

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 悠悠球的物理学原理(上)

接着上周的故事,让我们继续悠悠球的探索之旅……

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01稳定性与性能指标

现在的悠悠球运动有五大类的花式,感兴趣的朋友可以了解一下。不同门类花式的性能指标不尽相同。本文主要讲的是1A(单手线上花式,全世界80%的玩家玩的都是1A)球的基本性能指标。平时常见的指标有:抖振,动力感,走线流畅感,灵敏程度等等。其实不同的玩家手感不一样,没有一个统一的标准。但是,有些共性的东西可以探讨一下。

一般来讲,什么样的球算是好球呢?没有抖振,既动力十足又轻灵流畅。首先谈谈所谓的动力感。一个直观的印象,球的质量越大,其惯性就越大,转的时间也就越长。这是没有问题的,但现代悠悠球的质量往往是在一个特定的范围内的,一般65克左右,轻的(比如yoyofriend的蜂鸟,前面做测试用的death adder v2)有62克的,重的(比如rain city skills的SETI)有68克的,悠悠球的尺寸与硬度标准(包括绳子的承重)决定了它的重量,也就是说要利用有限的重量增加球的惯性,这就涉及到了前面提到的转动惯量J(如果对物理不是很了解,可以把它当作惯性的一个直接量化,这个越大,惯性越大)。前面假设的是悠悠球的质量均匀分布,于是:

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另外考虑一种特殊情况,球的质量全都均匀分布在边缘(圈状),这种情况下:

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也就是相比均匀分布,其惯性增加了100%。这也是悠悠球设计的基本指导思想,尽可能的把质量集中在边缘,这就是动力感。

至于所谓的流畅和灵敏当然也和配重有关,不过很多细节没有统一标准,但有一点,好的球要尽可能地把总重量压低,由此镶金属环的球(Bi-Metal)应运而生。对于单一材质(铝)的金属球,为了增大转动惯量,需要在边缘加厚以获得合理配重。下面做一个简单估算,假设在原有均匀圆盘的基础上在其外圈增加一圈厚度为D的外环,外环的外半径就是圆环半径R,内径设为r。

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设外环所用材料密度为ρ,则增加的转动惯量为:

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现有两种材料,密度分别为ρ1和ρ2,那么为了获得同等的转动惯量增量,二者的内环r1和r2满足:

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可以简单分析得到,密度大的物质,其内环r较大,其Δm较小。因此,比之于加厚悠悠球的边缘,不如在边缘镶上密度更大的金属环(比如铜,钢)可以在尽可能小的增加重量的同时增加惯性。不过,把两种金属镶在一起,为保证精度,其加工难度要大许多,因此成本更高。

关于球的另一项性能,抖振,影响最大的因素便是球的均匀性。均匀性分两点,第一是对于单片球体,其质心是否在中轴上,第二是对于两侧的球体,其质心在中轴上的位置是否相同。下面粗略地分析一下两种不均匀性对稳定性的影响。

若单片球的质心
偏离中轴线较多

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空转时球的运动形式极为复杂,若想大致解析这种运动,需要用到刚体的Euler动力学方程,偏离主题过多(而且不均匀程度如此之高的球也是难得一见了,除非是经常拿来摔被摔变形的训练球和拿冲压铝片做的劣质球)。直观的讲,这种情况下两侧球体的角速度(以及轴心所在的直线)不在惯量主轴上,因此整个球体不会绕着球体的轴心线稳定转动,而是围绕着轴心方向的惯量主轴自转,并伴随着进动和章动,大致长成这样:

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于是,在高速转动的情况下就会看到球变成模糊一团的绕核悠悠云(喂,悠悠云是什么鬼)。悠悠球的章动会导致球体的内壁和绳子刮到一起,进而产生巨大的摩擦,快速消耗球的转速,使球很快停转。这也就是为什么要保证球的均匀性。生产悠悠球时,一般是用数控机床加工整块的均匀铝锭以保证单片球体的均匀性。若不均匀就会出现球体抖动的情况。
若两侧球体的质心在中轴上的位置不相同

这种不对称性普遍存在,用绳子提起一个停止空转的球,往往会发现球偏向一侧:

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这种偏离除了会使静止的球偏向一侧还会带来什么现象呢?为讨论问题方便,假设两侧球体的的质量相同,且质心都位于中轴线上,只是距离正中心的距离不同:

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首先直觉上讲,即便在空转时,球也会像静止时那样侧偏,以平衡重心的不对称性:

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这种现象也的确存在,一般来说球在空转一段时间后都会向某一侧侧偏,绳子会刮到球的内壁,加速衰减,若想维持空转,就需要把球摆正,这就用到了一项名为调绳的技术,稍后会谈。

另外还会存在一种效应,进动,即绕着绳子这个轴转动:

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为了说明这种效应,把简化的球模型放到三维直角坐标系里:

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假设重心位置d1>d2,则重力的力矩为:

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即沿x轴正方向,大小为mg(d1-d2)。

再假设球绕y轴顺时针转动,角速度为Ω,转动惯量为I1。则角动量大小J1=ΩI1,方向指向y轴负方向。换句话说,重力矩始终保持水平方向并垂直于悠悠球的角动量:

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在重力矩的作用下,角动量J1会绕着z轴逆时针转动,表现在悠悠球上,就是刚刚提到的进动,其进动角速度大致等于:

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因为球的自转角速度Ω很大,中心的偏差又很小,所以一般进动的角速度非常小,以之前做测试的deathadder v2悠悠球来说,大概两分钟会绕着绳子转一圈。接下来讲讲前面提到的调绳。由于两侧球体重心的不对称性,在空转过程中,球体会渐渐向重心距离大的一侧倾斜,这个倾斜角度也取决于重心不对称程度和球的空转速度,量级上大致等于:

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其中t为时间,计算比较繁琐,不放细节了。可以看到,因为空转速度很大,这个侧向倾斜的速度甚至远小于进动速度,但同时因为绳子的自由空间很小,距离两侧内壁距离很近:

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所以倾斜很小的角度就会刮到一侧的内壁,这个大致在进动一周时会发生。一旦发生剐蹭,因为回收系统的摩擦力,会大大增加阻力,另外,如下图所示:

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摩擦力矩:

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其方向与角动量的方向呈钝角,会使角动量向自己的方向偏移,简言之,就是会使倾斜程度加大,进一步加大摩擦力矩,使空转衰减加剧。因此若想延长球的空转时间,需要在球倾斜的时候将球‘扶正’,这就是调绳。

调绳的方式很简单,在空转时通过实时调节绳子的松紧,从而利用绳子给球施加一个扭矩。比如上图的情况,需要用手指顺时针捻动离球较近处的绳子:

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由此提供一个向下的扭矩,这样角动量就会向下演化,球就会被扶正。在测试球的空转性能时,调绳技术至关重要。再好的球,不调绳,其空转时间至多维持两三分钟,反之,一般的球在调绳的作用下,至少可以空转7分钟以上。
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02 回收系统记得小时候玩的悠悠球很多会装一个离合器,作用就是自动回收悠悠球。关于离合器的介绍有很多,这里就简略说一下。离合器长这样:

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当球高速转动时,在相对悠悠球球静止的非惯性坐标系下,离合器里面的钢球在离心力作用下压缩弹簧,使两个黑色的卡扣不接触轴心的螺丝。当速度降低到一定程度时,离心力不足以压缩弹簧使之与轴心分离,此使的卡扣会与轴心产生较大的摩擦力,将球的转动转化为整体向上运动的速度,实现对球的回收,因此这类回收器的回收转速都是固定的。这类回收器一般在新手入门球或玩具球中常见。因为其做不到收放自如,不利于玩各种花式。

而本文主要讲的是非离合器式回收系统。这些球主要分为两类,活睡眠和死睡眠。活睡眠球在睡眠时轻轻提一下绳子就能实现回收,而死睡眠球做不到,需要利用高速回收的技巧。事实上,除了2A,4A花式,1A,3A,5A花式用的都是死睡眠球,换句话说,回收的触发条件较为苛刻,这样球才不会在做花式的时候莫名其妙的自己收起,之前也有过一个哥们用活睡眠球玩1A花式因为球突然回收把牙打掉的悲惨传说。

但本质上,活睡眠和死睡眠的回收原理是一样的。都是通过拉动绳子使之在轴承位置折叠,增加与回收系统(比如挤压胶圈)之间的摩擦力,由此使球产生向上的速度,实现回收。

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大致上,当球上升的速度和其因转动卷曲绳子的速度一致时,球开始回收,假定回收球时球的转速为ω0,球的质量为m,按照均匀圆盘估计球的转动惯量:

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轴承尺寸(或者绳与球体的摩擦点距离中心点的距离)为d (远小于R),瞬时摩擦力为f,那么由冲量-动量守恒:

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由于失重,绳子拉力T≈0。由冲量矩-角动量守恒:

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再由几何尺寸的约束关系:

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可以得到:

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也就是说,收球时球向上滚动的初始角速度基本等于收球前一刻的空转角速度,当动能足以克服重力势能上升到手中时,就实现了回收。因此,当球的空转速度较低时,回收难度比较大。所谓活睡眠和死睡眠,其区别就体现在与回收系统之间的瞬时摩擦力上。对于鼓形球来说,因为两瓣球体间距较小,绳子经过折叠容易增加与回收系统间的摩擦力,所以更容易成为一提就回收的活睡眠球,反之,蝶形球球体间距大,绳子因折叠提供的对两侧的压力较小,所以更容易成为死眠球。

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但是,依旧存在死眠的鼓形球和活眠的蝶形球,这是因为轴承本身也有摩擦力,而且很关键。换句话说,整体回收用的摩擦力等于回收系统摩擦力加轴承的摩擦力(或者称之为轴承阻力,这份阻力会减少空转时间)。对于鼓形球,如果把轴承清洗干净,那么轴承阻力很小,总摩擦力也有可能不足以远大于重力,这样瞬时冲量不足以使球产生足够的向上速度,就成了死眠球。对于蝶形球,如果把轴承阻力加大,比如加润滑油(因为悠悠球轴承很小,滚珠更小,而质量很轻,这种时候润滑油反而起到的不是润滑效果,而是提供了粘滞阻力),那么用于回收的摩擦力大大增加,很可能就变成活眠球了,当然,是否会有这种转变还取决于润滑油的量。那么前面提到的高速收球是怎么回事呢?所谓死眠球不是真的收不回来,只是要增加回收系统与绳子之间的摩擦力。原理如下:

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通过双股绳子的缠绕,增加绳子堆叠的体积,从而加大挤压侧壁的压力,增加与胶圈的摩擦力,最终实现回收。
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结语比之于玩具,悠悠球更是一种运动;而比之于运动,悠悠球更像一种指尖的舞蹈。笔者玩悠悠球好多年了,然则不思进取,学的花式寥寥无几,只是单纯喜欢这些精灵在手中翻飞的感觉,而并没有钻研出自己的玩球风格,不过这丝毫不影响本菜鸟对于这项运动的执着。除了悠悠爱好者的身份,笔者还是个高能物理狗,常年在外做合作组项目。国外的科研生活有时候是无聊而乏味的,悠悠球成了我日常调剂生活的好朋友。所以闲暇之余写了这个到处是不严谨近似的悠悠杂谈,以我自己的方式表达对这项运动的热爱。希望你也会喜欢上这项运动。
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往期精彩 喂?喂?怎么有回音? 鸡与蛋的千年大战 你的手机屏幕是如何get到你的指纹的?

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