聚类分析的基本概念

基本思想

聚类分析的基本思想：是根据一批样品的多个观测指标，具体地找出一些能够度量样品或指标之间相似程度的统计量，然后利用统计量将样品或指标进行归类。把相似的样品或指标归为一类，把不相似的归为其他类。直到把所有的样品（或指标）聚合完毕. 相似样本或指标的集合称为类。

研究主要内容

如何度量事物之间的相似性 ?

怎样构造聚类的具体方法以达到分类的目的?

样本间距离的概念

每个样本有p个指标，因此每个样本可以看成p维空间中的一个点，n个样本就组成p维空间中的n个点，这时很自然想到用距离来度量n个样本间的相似程度。

样本X${}_i$和样本X${}_j$间的距离有多种定义方式，这里给出常用的几种。

明考夫斯基距离

明考夫斯基距离又叫明氏距离，其公式为：

当q的取值不同时又可以分成以下几种常用的距离：

以上几种距离主要有以下两个缺点：

1.距离的值与各指标的量纲有关，具有一定的人为性。任何一个变量计量单位的改变都会使距离的值改变。

2.距离的定义没有考虑各个变量之间的相关性和重要性。以上距离是把各个变量都同等看待，将两个样品在各个变量上的离差简单地进行了综合。

马氏距离

马氏距离又称为广义欧氏距离。

马氏距离考虑了观测变量之间的相关性。如果假定各变量之间相互独立，即观测变量的协方差矩阵是对角矩阵，此时马氏距离就是标准化的欧氏距离。

马氏距离不受指标量纲及指标间相关性的影响

聚类方法

系统聚类法

基本思想

先将n个样品各自看成一类，然后规定样品之间的“距离”和类与类之间的距

离。选择距离最近的两类合并成一个新类，计算新类和其它类（各当前类）的距离，再

将距离最近的两类合并。这样，每次合并减少一类，直至所有的样品都归成一类为止

基本步骤

系统聚类法的基本步骤：

1. 计算n个样品两两间的距离 d${}_{ij}$ ，记作D= {d${}_{ij}$ } 。
2. 构造n个类，每个类只包含一个样品。
3. 合并距离最近的两类为一新类。
4. 计算新类与各当前类的距离。
5. 重复步骤3、4，合并距离最近的两类为新类，直到所有的类并为一类为止。
6. 画聚类谱系图。
7. 决定类的个数和类

MATLAB实现

pdist函数用来计算样本间的距离
其基本形式为：

其中Distance表示距离的类型，如’chebchev’,‘minkowshi’

其返回为具有X所有元素个数的排列数的一个向量，比如输入10个元素，C${}_{10}^2$,即为45个元素的向量。
该函数通常与squareform(D)函数搭配使用。squareform函数可以将pdist(X)函数返回的向量转化为邻接矩阵。如下例所示：

得到邻接矩阵后用LInkage函数创建系统聚类树,并用Dendrogram来做出聚类的树形图。
这两个函数的用法这里就不累述了。
接下来给出一个简单的例子：

a=rand(30,2);
x=pdist(a);
y=linkage(x);
dendrogram(y)

动态聚类

基本思想

选取若干个样品作为凝聚点，计算每个样品和凝聚点的距离，进行初始分类，然后根据初始分类计算其重心，再进行第二次分类，一直到所有样品不再调整为止。
动态聚类
优点：计算量小，方法简便，可以根据经验，先作主观分类。
缺点：结果受选择凝聚点好坏的影响，分类结果不稳定

基本步骤

MATLAB实现

一般采用MATLAB中的kmeans函数来实现动态聚类

其中，X为n$\ast$p的矩阵，k为分类个数，输出函数IDX为
N*1的向量，其元素为每个点所属类的类序号。C为k$\ast$p的矩阵，为第i行元素的 第j类的中心坐标。

subplot(2,2,1)
plot(a(:,1),a(:,2),'*');
subplot(2,2,2)
t1=a(find(c==1),:);
t2=a(find(c==2),:);
t3=a(find(c==3),:);
plot([t1(:,1)],[t1(:,2)],'*','color','red')
hold on
plot([t2(:,1)],[t2(:,2)],'*','color','green')
hold on
plot([t3(:,1)],[t3(:,2)],'*','color','blue')
hold on 
plot(d(:,1),d(:,2),'+','MarkerSize',10)

如图所示，我们随机生成的点通过动态聚类的方法被分为了3类，用3种不同的颜色表示了出来。其中加号+，表示聚类的中心位置。

小结

本文总结了聚类分析的常见方法，并给出了运用MATLAB进行聚类分析的实例。

参考文献来源于网络和校内资料，若有侵权，告知则删。

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