雅可比矩阵和行列式（Jacobian）

1，Jacobian matrix and determinant

在向量微积分学中，雅可比矩阵是向量对应的函数（就是多变量函数，多个变量可以理解为一个向量，因此多变量函数就是向量函数）的一阶偏微分以一定方式排列形成的矩阵。

如果这个矩阵为方阵，那么这个方阵的行列式叫雅可比行列式。

2，雅可比矩阵数学定义

假设函数f可以将一个n维向量$\vec{x}$（$\vec{x}\in R^n$）变成一个m维向量f($\vec{x}$), $f(\vec{x})\in R^m$，
（显然f是由m个实函数组成的函数）
则函数f的雅可比矩阵$J_f$可以定义如下：
$$J_f=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\partial f}{\partial x_1}& ...& \frac{\partial f}{\partial x_n}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\partial f_1}{\partial x_1}& ...& \frac{\partial f_1}{\partial x_n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1}& ...& \frac{\partial f_m}{\partial x_n}\end{array}\right]$$

对于单个元素而言，可以定义如下：
$J_{ij}=\frac{\partial f_i}{\partial x_j}$

函数f的雅可比矩阵的其它标记方法为$\frac{\partial (f_1,...,f_m)}{\partial (x_1,...,x_n}$

3，例子

3.1 设函数f为二维空间到二维空间的变换

3.2 极坐标到笛卡尔坐标的变换

3.3 球坐标到笛卡尔坐标的变换

3.4 三维空间到四维空间的变换

3.5 三维空间到三维空间的变换

4，雅可比矩阵意义

雅可比矩阵$J_f(p)$就是函数f在n维空间某点p处的导数，它是一个线性映射（因为它是一个矩阵，矩阵本身代表着线性变换），它代表着函数f在点p处的最优线性逼近，也就是当x足够靠近点p时，我们有
$f(x)\approx f(p)+J_f(p)\ast (x-p)$

这跟2维空间中在某点附近线性逼近一段曲线很类似，如果雅可比矩阵只有一个元素，它就等于2维空间中曲线在某点处的导数。

Note: 微分的本质就是线性化，在局部用线性变化代替非线性变化。

5，雅可比行列式意义

代表经过变换后的空间与原空间的面积（2维）、体积（3维）等等的比例，也有人称缩放因子。

Reference

https://en.wikipedia.org/wiki/Jacobian_matrix_and_determinant