四阶行列式直接展开_4行列式按行(列)展开课程.ppt

复 习 一、n阶行列式的定义 二、行列式的五个性质 转置、换法变换、倍法变换、消法变换、加法 三、特殊的行列式 第四节 行列式按行(列)展开 引 言 对于三阶行列式来说，容易验证， 小结 行列式按行(列)展开 * 余子式与代数余子式 行列式按行(列)展开的法则 这样，三阶行列式的计算可以归结为二阶行列式的计算. 可以证明 n 阶行列式的计算总可以化为为阶数较低的行列式的计算. 为此引入子式和代数余子式的概念. 余子式与代数余子式 在n阶行列式D?det(aij)中? 把元素aij所在的第i行和第j列划去后? 剩下来的n?1阶行列式叫做元素aij的余子式? 记作Mij? 记 Aij?(?1)i? jMij? Aij叫做元素aij的代数余子式? A23?(?1)2?3M23??M23? 例如? 已知 则a23的余子式和代数余子式为 解 例1 求行列式 中元素a31和a32的代数余子式? 5 0 3 2 ?2 1 ?3 0 4 A31?(?1)3?1 0 3 0 4 ?0? A32?(?1)3?2 5 3 ?3 4 ?29? 定理(行列式按行(列)展开法则) 行列式等于它的任一行(列)各元素与其对应的代数余子式乘积的和? 即 D?ai1Ai1?ai2Ai2? ? ? ? ?ainAin (i=1? 2? ? ? ? ? n)? 或 D?a1j A1j?a2j A2j? ? ? ? ?anj Anj (j=1? 2? ? ? ? ? n)? 推论 行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零? 即 ai1Aj1?ai2Aj2? ? ? ? ?ainAjn ?0 (i?j)? 或 a1i A1j?a2i A2j? ? ? ? ?ani Anj?0 (i?j)? 综合结论? D=a13A13+a23A23+a33A33+a43A43? 其中a13=3? a23=1? a33=-1? a43=0? 例2 计算行列式 将D按第三列展开? 解 所以 =-24? D=3?19+1?(-63)+(-1)?18+0?(-10) 应有 例3 已知四阶行列式D中第3列元素依次为?1? 2? 0? 1? 它们的余子式依次分别为5? 3? ?7? 4? 求D?? 解 D?a13?(?1)1?3M13?a23?(?1)2?3M23 +a33?(?1)3?3M33?a43?(?1)4?3M43 ?(?1)?(?1)1?35?2?(?1)2?33?1?(?1)4?34 ??15? 注? 行列式Dn称为n阶范德蒙行列式。 提示? 第n?1行乘?a1加到第n行? 第n?2行乘?a1加到第n?1行? 第n?3行乘?a1加到第n?2行? ? ? ? ? ? ? ? 提示? 按第一列展开? 提示? 各列提出公因式? 例4 ?(a2?a1)(a3?a1)???(an?a1)?(a3?a2)???(an?a2)Dn?2 ? ??? 例4 ?(a2?a1)(a3?a1)???(an?a1)Dn?1? 于是 Dn?(a2?a1)(a3?a1)???(an?a1)Dn?1? 相关结果? 行列式按第i行展开? 得 将元素ai1换成b1? ai2换成b2? ? ? ?? ain换成bn? 得 相关结果? 如果第i行的元素为b1? b2? ? ? ?? bn? 则有 如果第j列的元素为b1? b2? ? ? ?? bn? 则有 解 例5 式依次记作Mij和Aij? 求A11?A12?A13?A14及M11?M21?M31?M41? r4?r3 r3?r1 按第三 列展开 c2?c1 按第三 行展开 ?4? 解 例5 式依次记作Mij和Aij? 求A11?A12?A13?A14及M11?M21?M31?M41? M11?M21?M31?M41 ?A11?A