matlab求解常微分方程(组)—dsolve、ode系列函数详解(含例程)

matlab求解常微分方程(组)—dsolve、ode系列函数详解(含例程)本文主要介绍matlab中求解常微分方程(组)的dsolve和ode系列函数,并通过例子加深读者的理解。一、符号介绍  D:微分符号;D2表示二阶微分,D3表示三阶微分,以此类推。二、函数功能介绍及例程1、dsolve函数dsolve函数用于求常微分方程组的精确解,也称为常微分方程的符号解。如果没有初始条件或边界条件,则求出通解;如果有,则求出特解。1)函数格式  …

本文主要介绍matlab中求解常微分方程(组)的dsolveode系列函数,并通过例子加深读者的理解。

一、符号介绍

   D: 微分符号;D2表示二阶微分,D3表示三阶微分,以此类推。

二、函数功能介绍及例程

1、dsolve 函数

dsolve函数用于求常微分方程组的精确解,也称为常微分方程的符号解。如果没有初始条件或边界条件,则求出通解;如果有,则求出特解。

1)函数格式  

Y = dsolve(‘eq1,eq2,…’ , ’cond1,cond2,…’ , ’Name’)

其中,‘eq1,eq2,…’:表示微分方程或微分方程组;

            ’cond1,cond2,…’:表示初始条件或边界条件;

            ‘Name’:表示变量。没有指定变量时,matlab默认的变量为t;

2)例程

例1.1(dsolve 求解微分方程)

求解微分方程:

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在命令行输入: dsolve(‘Dy=3*x^2′,’x’) ,摁下enter键后输出运行结果。

matlab求解常微分方程(组)---dsolve、ode系列函数详解(含例程)

例1.2(加上初始条件)

求解微分方程:

matlab求解常微分方程(组)---dsolve、ode系列函数详解(含例程)

只需要在命令行添加初始条件即可,此时求出的即为方程的特解。可以看到上例中的C9变为了2。

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例2(dsolve 求解微分方程组)

求解微分方程组: 

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由于x,y均为t的导数,所以不需要在末尾添加’t’。

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2、ode函数

在上文中我们介绍了dsolve函数。但有大量的常微分方程,虽然从理论上讲,其解是存在的,但我们却无法求出其解析解,此时,我们需要寻求方程的数值解。

怎么理解数值求解呢?数值分析是一门专门的学科,在此不过多介绍。我主要想通过一个简单的例子来向大家阐述数值求解的思想。

比如,求解微分方程 matlab求解常微分方程(组)---dsolve、ode系列函数详解(含例程) 。我们就可以转化为matlab求解常微分方程(组)---dsolve、ode系列函数详解(含例程),那么matlab求解常微分方程(组)---dsolve、ode系列函数详解(含例程)。因此,我们可以通过迭代的方式来求解y。matlab求解常微分方程(组)---dsolve、ode系列函数详解(含例程)即可理解为步长

odeMatlab专门用于解微分方程的功能函数。该求解器有变步长(variable-step)和定步长(fixed-step)两种类型。不同类型有着不同的求解器,具体说明如下图。 

非刚性ode求解命令

求解器solver

功能

说明

ode45

一步算法:4、5阶龙格库塔方程:累计截断误差(Δx)^5

大部分尝试的首选算法

ode23

一步算法:2、3阶龙格库塔方程:累计截断误差(Δx)^3

适用于精度较低的情形

ode113

多步算法:Adams

计算时间比ode45短

刚性ode求解命令

ode23t

梯形算法

适度刚性情形

ode15s

多步法:Gear’s反向数值微分:精度中等

若ode45失效时,可以尝试使用

ode23s

一步法:2阶Rosebrock算法:精度低

当精度较低时,计算时间比ode15s短

ode23tb

梯形算法:精度低

当精度较低时,计算时间比ode15s短

其中,ode45求解器属于变步长的一种,采用Runge-Kutta算法;其他采用相同算法的变步长求解器还有ode23ode45表示采用四阶五阶Runge-Kutta算法,它用4阶方法提供候选解,5阶方法控制误差,是一种自适应步长(变步长)的常微分方程数值解法,其整体截断误差为(Δx)^5。解决的是Nonstiff(非刚性)常微分方程。

ode45是解决数值解问题的首选方法,若长时间没结果,应该就是刚性的,可换用ode15s试试。

下面将以ode45为例具体介绍函数的使用方法。

1)函数格式  

[T,Y] = ode45(‘odefun’,tspan,y0)

[T,Y] = ode45(‘odefun’,tspan,y0,options)

[T,Y,TE,YE,IE] = ode45(‘odefun’,tspan,y0,options)

sol = ode45(‘odefun’,[t0 tf],y0…)

其中: odefun是函数句柄,可以是函数文件名,匿名函数句柄或内联函数名;

          tspan 是求解区间 [t0 tf],或者一系列散点[t0,t1,…,tf]

          y0 是初始值向量

          T 返回列向量的时间点

          Y 返回对应T的求解列向量

          options 是求解参数设置,可以用odeset在计算前设定误差,输出参数,事件等

           TE 事件发生时间

           YE 事件发生时之答案

            IE 事件函数消失时之指针i

2)微分方程标准化

利用ode45求解高阶微分方程时,需要做变量替换。下面说明替换的基本思路。

微分方程为

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初始条件

matlab求解常微分方程(组)---dsolve、ode系列函数详解(含例程) 

首先做变量替换 

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原微分方程可以转换为下面的微分方程组的格式:

matlab求解常微分方程(组)---dsolve、ode系列函数详解(含例程)

下面就可以利用转换好的微分方程组来编写odefun函数。

3)例程

例3.1(编写odefun函数)

 

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在matlab中新建脚本文件,编写函数如下:

matlab求解常微分方程(组)---dsolve、ode系列函数详解(含例程)

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本例中只需在例3.1的基础上编写主函数,加上求解区间和边值条件即可。需要注意的是,ode45的运行结果以列向量形式给出。因此在本例中,x的第一列为y,第二列为y’。如果遇到变量不是列向量形式的,可以考虑利用reshape函数做矩阵变换。

则,plot(t,x(:,1))画出来的是x的第一列数据,即为y;

        plot(t,x(:,2))画出来的是x的第二列数据,即为y’;

matlab求解常微分方程(组)---dsolve、ode系列函数详解(含例程)

 

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三、总结

在使用matlab中,如遇到命令格式记不清楚等情况,建议直接在命令行输入指令’help+函数名称’,如,在matlab命令窗口输入help dsolve后,显示如下:

matlab求解常微分方程(组)---dsolve、ode系列函数详解(含例程)

参考:

1、https://jingyan.baidu.com/article/e52e36154448e940c60c51aa.html

2、https://baike.baidu.com/item/ode45/6674723?fr=aladdin

3、https://wenku.baidu.com/view/45a0a0b54b73f242326c5f7f.html

 

 

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