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综合实例应用：方程组的求解

前言

无论工程应用问题，还是数学计算问题，方程组都是解决问题转化的重要途径之一，将复杂问题转化为简单的方程组矩阵求解问题。

一、求解四元一次线性方程组

>> %创建方程组系数矩阵
>> A=[2 1 -5 1;1 -3 0 -6;0 2 -1 2;1 4 -7 6];
>> b=[8 9 -5 0]';
>> %判断方程是否有解
>> %求方程组的秩
>> r=rank(4)

r =

     1

>> B=[A,b];%创建增广矩阵
>> s=rank(B)

s =

     4

>> %r=s=n(未知数)=4，则该齐次线性方程组有唯一解。
>> %利用矩阵的逆
>> x0=pinv(A)*b

x0 =

    3.0000
   -4.0000
   -1.0000
    1.0000

二、利用矩阵分解求解

利用矩阵分解来求解线性方程组，是工程计算中最常用的计算。

1.LU分解法

LU分解法是先将系数矩阵A进行LU分解，得到LU=PA，然后解Ly=Pb,最后再解Ux=y得到原方程组的解。

编写利用LU分解法求解线性方程组Ax=b的自定义函数M文件，操作方法：

函数solvebyLU的程序，如下所示

function x=solvebyLU(A,b)
%该函数利用LU分解法求线性方程组Ax=b的解
flag=isexist(A,b); 					%调用自定义函数isexist（）判断方程组解的情况
if flag==0
    disp('该方程组无解！');
    x=[];
    return;
else
    r=rank(A);
    [m,n]=size(A);
    [L,U,P]=lu(A);
    b=P*b;
        %解Ly=b
    y(1)=b(1);
    if m>1
        for i=2:m
            y(i)=b(i)-L(i,1:i-1)*y(1:i-1)';
        end
    end
    y=y';
        %解Ux=y得原方程组得一个特解
    x0(r)=y(r)/U(r,r);
    if r>1
        for i=r-1:-1:1
            x0(i)=(y(i)-U(i,i+1:r)*x0(i+1:r)')/U(i,i);
        end
    end
    x0=x0';
     if flag==1  					%若方程组有唯一解
        x=x0;
        return;
    else        						%若方程组有无穷多解
        format rat;
        Z=null(A,'r'); 				%求出对应齐次方程组的基础解系
        [mZ,nZ]=size(Z);
        x0(r+1:n)=0;
        for i=1:nZ
            t=sym(char([107 48+i]));
            k(i)=t;      				%取k=[k1,k2...,];
        end
        x=x0;         
        for i=1:nZ          
            x=x+k(i)*Z(:,i); 			%将方程组的通解表示为特解加对应齐次通解形式
        end        
    end
end

函数isexist（）的程序，如下所示

function y=isexist(A,b)
%该函数用来判断线性方程组Ax=b的解的存在性
%若方程组无解则返回0，若有唯一解则返回1，若有无穷多解则返回Inf。
 [m,n]=size(A);
[mb,nb]=size(b);
if m~=mb
    error('输入有误！');
    return;
end
r=rank(A);
s=rank([A,b]);
if r==s &&r==n
    y=1;
elseif r==s&&r<n
    y=Inf;
else
    y=0;
end

命令行代码，如下所示

>> A=[2 1 -5 1;1 -3 0 -6;0 2 -1 2;1 4 -7 6];
>> b=[8 9 -5 0]';
>> x2=solvebyLU(A,b)

x2 =

       3       
      -4       
      -1       
       1       

2.QR分解法

利用QR分解法先将系数矩阵A进行QR分解A=QR，然后解Qy=b,最后解Rx=y得到原方程组的解

1.编写求解线性方程组Ax=b的函数solvebyQR,代码如下：

function x=solvebyQR(A,b)
%该函数利用QR分解法求线性方程组Ax=b的解
flag=isexist(A,b); 					%调用自定义函数isexist（）
if flag==0
    disp('方程组无解');
    x=[];
    return;
else
    r=rank(A);
    [m,n]=size(A);
    [Q,R]=qr(A);
    b=Q'*b;
    %解Rx=b得原方程组得一个特解
    x0(r)=b(r)/R(r,r);
    if r>1
        for i=r-1:-1:1
            x0(i)=(b(i)-R(i,i+1:r)*x0(i+1:r)')/R(i,i);
        end
    end
    x0=x0';
       if flag==1  					%若方程组有唯一解
        x=x0;
        return;
    else        						%若方程组有无穷多解
        format rat;
        Z=null(A,'r'); 				%求出对应齐次方程组得基础解系
        [mZ,nZ]=size(Z);
        x0(r+1:n)=0;
        for i=1:nZ
            t=sym(char([107 48+i]));
            k(i)=t;      					%取k=[k1,...,kr];
        end
        x=x0;         
        for i=1:nZ          
            x=x+k(i)*Z(:,i); 				%将方程组的通解表示为特解加对应齐次通解形式
        end        
    end
end

总结

综合实例—方程组的求解，到这里就结束啦！感谢观看，希望这篇文章对大家有帮助。