中值定理–函数的中值定理

中值定理–函数的中值定理

中值定理,十大定理,达布中值定理

中值定理--函数的中值定理_辅助函数

中值定理--函数的中值定理_辅助函数_02

费马引理

  • 设f(x)满足在x0点处 可导且取极值,则 f'(x0)=0
  • 点x0取极值则x0的导数必为0

费马引理的证明

  中值定理--函数的中值定理_辅助函数_03

证明区间一点导数为零,考虑罗尔定理和费马引理

  中值定理--函数的中值定理_辅助函数_04

  • 导数不为0,导函数必然保号(恒正或恒负,因为零点定理

罗尔定理

中值定理--函数的中值定理_极值_05

 罗尔定理推广

中值定理--函数的中值定理_极值_06

 罗尔定理的使用

利用乘积求导公式的逆用,(uv)’ = u’v + uv’

解题关键

  • 构造辅助函数
  • 找相等的端点

中值定理--函数的中值定理_分享_07

 中值定理--函数的中值定理_极值_08

拉格朗日中值定理

中值定理--函数的中值定理_极值_09

柯西中值定理

  • 设f(x),g(x)满足,在[a, b]连续,在(a, b)内可导,存在ξ ∈(a, b),g'(x)≠0,使得 中值定理--函数的中值定理_分享_10
  • 取g(x)=x,可以推出拉格朗日中值定理 中值定理--函数的中值定理_极值_11  拉格朗日是柯西的特例
  •  令f(a)=f(b),可以推出罗尔定理

泰勒公式

中值定理--函数的中值定理_辅助函数_12

常用的级数

 

 

中值定理--函数的中值定理_分享_13

 

联系 f 与 f ‘ 考虑拉格朗日,联系 f 与 f ” 考虑泰勒公式

 中值定理--函数的中值定理_辅助函数_14

达布中值定理(导函数介质定理)

中值定理--函数的中值定理_辅助函数_15

 

根据达布中值定理,如果导函数存在,要么连续,要么震荡

论读书


睁开眼,书在面前 闭上眼,书在心里

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