矩阵的迹及相关性质

1. 迹的定义

        对于n*n阶方阵X而言，其主对角线的所有元素之和称之为X的迹，记为tr(X)，即:

2. 基本性质

（1） tr(A) = tr(A’)

（2） tr(kA) = k*tr(A) ,  

（3） tr(A+B) = tr(A) + tr(B)

（4） tr(AB)=tr(BA)

       前三个性质根据迹的定义很容易得证，下面我们来简单证明一下第四个性质。

       根据性质四可以得出一个推论，方阵的乘积和其任何循环置换的乘积会有相同的迹，称为迹的“循环性质”。例如，有三个方阵A、B、C，则：tr(ABC) = tr(CAB) = tr(BCA)。

3. 有关偏导的性质

（1），证明如下：

（2），证明如下：

           在推导上式的过程中，用到了分布求导。如

.

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