调和函数与全纯函数

全纯函数的实部和虚部是调和函数，这是很显然的.自然的要问一个问题：

如果$u$是区域$D$上的调和函数,那么是否一定存在一个函数$f\in H(D)$使得$${\rm Re}f=u$$成立呢？

   一般来讲这个结论不对的.但是如果限制区域$D$是单连通的,那么结论就对了.下面给出这个结论的证明：注意到$\Delta u=0$,而且$D$单连通,从而$$-u_{y}{\rm d}x+u_{x}{\rm d}y$$是一个函数的全微分,因而积分与路径无关,令$$v(x,y)=\int_{(x_{0},y_{0})}^{(x,y)}-u_{y}{\rm d}x+u_{x}{\rm d}y$$

那么考虑函数$f=u+iv$,其中$u,v$均实可微且满足Cauchy-Riemann方程,从而$f\in H(D)$.

注记:如果要求$u$是全纯函数的虚部,那么考虑函数$if$即可.

如果区域不是单连通的,我们可以举个反例:

在区域$B(0,1)\setminus\{0\}$上考虑函数$f(z)=z$,易知$\log|z|$为调和函数,如果存在全纯函数$$g(z)=\log|z|+iv$$

其中$v$为实值函数,那么$$\left|\frac{e^{g(z)}}{z}\right|=\left|e^{iv}\right|\equiv1$$

这说明函数$\frac{e^{g(z)}}{z}$常值,因此存在$\theta\in(-\pi,\pi]$使得$$e^{g(z)}=ze^{i\theta}\Rightarrow v=\theta+{\rm arg}z+2k(z)\pi$$

其中$k(z)$取值为$\mathbb Z$,注意函数$v$连续,那么$k(z)$常值,从而$${\rm arg}z=v-\theta-2k\pi$$

但是${\rm arg}z$在负实轴上间断,但是上式右端在不包含原点的任何区域上连续,矛盾!

所以$\log|z|$不是全纯函数的实部.