经济学：微观计算题

公式

Q:需求
P:价格
C:成本
M:边际
T:总和
R:利润
W:供给
价格弹性：需求变动率/价格变动率
需求价格弹性：平均需求变动率/平均价格变动率
生产函数： $\frac{MP_{L}}{P_{L}}=\frac{MP_{K}}{P_{K}}$ ，MP=dQ
成本函数：MP=MC=P=dSC
需求函数：MR=dPQ =MC=dC
供给函数: MC*L= dW = MP*P
边际产量收入=边际产量*边际收入,即VMP=MP*P
二元一次方程： $\frac{-(b)\pm \sqrt{b^{2}-4*a*c})}{2*a}$
最大效用公式： $\frac{X}{P_{Y}} = \frac{Y}{P_{X}}$

题1-收入点弹性：

假定某消费者关于某种商品的消费数量 Q 与收入 M 之间的函数关系为 M=100Q²

求：当收入 M=2500 时的需求的收入点弹性为多少？

解：

已知M = 100Q²，M =2500
求100Q² = 2500,Q²= 25, 所以Q=5.
点弹性公式： $E_{M}$ = $\frac{\frac{dQ}{Q}}{\frac{dM}{M}}$ = $\frac{dQ}{dM}$ * $\frac{M}{Q}$
因此Q² = $\frac{M}{100}$ ，所以 Q = $\frac{\sqrt{M}}{10}$ = $\frac{M^{\frac{1}{2}}}{10}$
dM=1, M=2500,所以 $\frac{dQ}{dM}$ = dQ/1 = dQ = $\frac{1}{2}*\frac{M^{\frac{1}{2}-1}}{10}$ = $\frac{M^{-\frac{1}{2}}}{2*10}$
$M^{-\frac{1}{2}}$ = $\frac{1}{\sqrt{M}}$ , 所以 $\frac{M^{-\frac{1}{2}}}{2*10}$ = $\frac{1}{20\sqrt{M}}$ = $\frac{1}{20\sqrt{2500}}$ = 1/ 20*50 = 0.001
$E_{M}$ = $\frac{dQ}{dM}$ * $\frac{M}{Q}$ = 0.001 * 2500/5 = 0.5

题：点价格弹性

某垄断企业的总成本函数为TC=50Q+Q²，收入函数TR=90Q-3Q²，问该垄断企业利润达到最大时，需求曲线上的点价格弹性是多少？

解：

利润最大化：MR=MC
MR = dTR = d(90Q – 3Q²) = 90 – 6Q
MC = dTC = d(50Q + Q²²) = 50 + 2Q
90 – 6Q = 50 + 2Q， Q = 5
因为TR = P*Q ，P = TR / Q = (90Q-3Q²)/Q = 90 – 3Q = 90 – 15 = 75
???价格点弹性Ep = dQ/dP * P/Q = ？？？ * 75/15 = * 5 =
点弹性公式:MR=P(1+1/Ep) ,Ep = P/(MR – P) = P/(90 – 6Q – P) = 75/(90-30 -75) = 75/-15 = -5

题2-交叉价格弹性：

假定在某市场上 A、B 两厂商是生产同种有差异的产品的竞争者；该市场对 A 厂商的需求曲线为 $P_{A}$ =200- $Q_{A}$ ，对 B 厂商的需求曲线为 $P_{B}$ =300-0.5 $Q_{B}$ ；两厂商目前的销售量分别为 $Q_{A}$ =50， $Q_{B}$ =100 。求：

（1）A、B 两厂商的需求价格弹性 $E_{A}$ 和 $E_{B}$ 各是多少？

（2）如果 B 厂商降价后，使得 B 厂商的需求量增加为 $Q_{B}$ ＝160，同时使竞争对手 A 厂商的需求量减少为 $Q_{A}$ ＝40 。那么，A 厂商对 B 厂商的需求交叉价格弹性 $E_{AB}$ 是多少？

（1）解：

已知 $P_{A}$ =200- $Q_{A}$ ， $Q_{A}$ =50
所以 $P_{A}$ = 200 – 50 = 150
已知 $P_{A}$ =200- $Q_{A}$ ，所以 $Q_{A}$ = 200 – $P_{A}$
d $Q_{A}$ = -1 ，d $P_{A}$ = 1
$E_{A}$ = $\frac{dQ}{dP}$ * $\frac{P}{Q}$ = -1 * 150/50 = -3
已知 $P_{B}$ =300-0.5 $Q_{B}$ ，所以 $Q_{B}$ = 600 -2 $P_{B}$ ，其中 $Q_{B}$ = 100
所以 $P_{B}$ = 300- 50 = 250
d $Q_{B}$ = -2 ，d $P_{B}$ = 1
$E_{B}$ = $\frac{dQ}{dP}$ * $\frac{P}{Q}$ = -2 * 250/100 = – 5

（2）解：

需求交叉价格弹性 $E_{AB}$ = $\frac{\Delta Q_{A}}{Q_{A}}/\frac{\Delta P_{B}}{P_{B}}$
已知 $P_{B}$ =300-0.5 $Q_{B}$ ， $Q_{B}$ ＝160
算的 $P_{B}$ = 300 – 80 =220 ，且变动前 $P_{B}$ = 300 – 50 = 250
求得B的价格差 $\Delta P_{B}$ = 250 -220 =30
B的平均价格 $P_{B}$ = （250+220）/ 2 =235
求得A的需求差 $\Delta Q_{A}$ = 50 -40 =10
A的平均需求 $Q_{A}$ = (50+40)/2 = 45
带入公式 $E_{AB}$ = $\frac{\Delta Q_{A}}{Q_{A}}/\frac{\Delta P_{B}}{P_{B}}$ = 10/45 * 235/30 = 1.74

题3-弧交叉价格弹性：

xx年,A 制衣公司的衬衫以每件 200 元的价格每月售出 9000 件,1998 年 1 月,竞争者B将衬衫的价格从 220 元降至 180 元,这个月,A 公司只售出了 8000 件衬衫.

(1)计算 A 公司衬衫与竞争者B 公司衬衫的需求的弧交叉价格弹性(假设 A 公司的衬衫价格不变)；

(2)如果 A 公司衬衫的需求价格弹性为–2.0,又设其竞争者衬衫的价格保持在 180 元的水平上,要使 A 公司的销售恢复到每月 9000 件的水平,价格要降低多少?

（1）解：

弧交叉价格弹性 $E_{AB}$ = $\frac{Q_{2}-Q_{1}}{P_{1}-P_{2}}$ * $\frac{P_{1}+P_{2}}{Q_{1}+Q_{2}}$
$Q_{1}$ = 9000, $Q_{2}$ =8000, $P_{1}$ =220 ， $P_{2}$ = 180
$E_{AB}$ = $\frac{8000-9000}{220-180}$ * $\frac{220+180}{8000+9000}$ = -1000/40 * 400/17000 = -25 * 0.0235 = 0.588

（2）解：

价格弹性Ep= -2 = 2 = $\frac{\Delta Q_{A}}{Q_{A}}/\frac{\Delta P_{A}}{P_{A}}$
需求变动 $\Delta Q_{A}$ = 9000 – 8000 =1000
平均需求 $Q_{A}$ = (9000+8000)/2 = 8500
价格变动 $\Delta P_{A}$ = 200 – P
平均价格 $P_{A}$ = (200+P)/2
带入公式 Ep=2 = $\frac{1000}{8500}/\frac{200-P}{(200+P)/2}$
P = 6600/35 = 188.57

题4-收益最大化：

已知某企业的生产函数为 Q = $L^{\frac{2}{3}}K^{\frac{1}{3}}$ ，劳动的价格 w=2，资本的价格 r=1。求：

（1）当成本 C=3000 时，企业实现最大产量时的 L、 K 和 Q 的均衡值。

（2）当产量 Q=800 时，企业实现最小成本时的 L、K 和 C 的均衡值。

（1）解：

收益最大化公式： $\frac{MP_{L}}{P_{L}}=\frac{MP_{K}}{P_{K}}$ ，劳动边际成本/劳动价格=资本边际成本/资本价格。
因为 $MP=\frac{dQ}{dL}$ ，dQ导数，已知：Q = $L^{\frac{2}{3}}K^{\frac{1}{3}}$
劳动边际产量：对L求导， $MP_{L} = \frac{2}{3}L^{-\frac{1}{3}}K^{\frac{1}{3}}$
固定边际产量：对K求导 $MP_{K} = \frac{1}{3}L^{\frac{2}{3}}K^{-\frac{2}{3}}$
因为 $P_{L}$ = w = 2， $P_{K}$ = r = 1
因此 $\frac{\frac{2}{3}L^{-\frac{1}{3}}K^{\frac{1}{3}}}{2}=\frac{\frac{1}{3}L^{\frac{2}{3}}K^{-\frac{2}{3}}}{1}$ ，算的K = L
因为 $C = P_{L}*L+P_{K}*K$ ，，c=3000
所以3000 = 2*L+1*K
K = L = 1000
Q = K = L = 1000

（2）解：

已知产品Q = 800， Q = $L^{\frac{2}{3}}K^{\frac{1}{3}}$
因为K=L
所以Q = K = L
K = L = 800
C = 2 * 800 + 1 * 800 = 1600+800 = 2400

题6-最大利润、均衡状态：

在完全竞争市场中的某企业，短期成本函数为 SC= $Q^{3}-6Q^{2}+30Q+40$ 。产品价格为 66 元，正常利润已包括在成本函数之中

（1）求企业最大利润以及相应的产量，此时的平均成本为多少？

（2）假设该企业是全行业的代表，这个行业是否处于均衡状态？为什么？

（1）解：

MR=MC，P=MC = 66.
P = MC = dSC ，66 = 3Q²–12Q+30+0，常数倒数都为0
一元二次方程: $\frac{-(b)\pm \sqrt{b^{2}-4*a*c})}{2*a}$
0=3Q²-12Q+30-66=3Q²-12Q-36
Q = $\frac{-(-12)\pm \sqrt{-12^{2}-4*3*(-36)})}{2*3}$
Q1= $\frac{12+\sqrt{-576}}{6}$ = $\frac{12-24}{6}$ =-2，数量不能为负，不成立。
Q2 = $\frac{12-\sqrt{-576}}{6}$ = $\frac{12+24}{6}$ =6
sc = $6^{3}-6*6^{2}+30*6+40$ = 216-216+180+40 = 220
平均成本AC = 220/6 = 36.67

（2）解：

R = P*Q – SC = 66*6 – 220 = 396-220 = 176
因为R>0，MR>SC,因此行业不均衡。

题7-垄断企业利润最大化：

假设垄断企业的成本函数为 50+20Q，其面对的市场需求函数为 P=100-4Q。

试求垄断企业利润最大化的产量、价格与利润。

解：

C = 50 + 20Q
PQ = 100Q – 4Q²
MR = d（PQ）= 100 – 8Q
MC = dC =d（ 50 + 20Q ） = 0+20 = 20
因为MR = MC ，所以 100 – 8Q = 20 , 算得 Q = 10
P = 100 – 4Q = 100- 4*10 = 100 – 40 = 60
R = PQ – C = 60*10 – (50+20*10) = 600 – 250 = 350

题8-垄断企业利润最大化：

假定一垄断厂商仅使用劳动 L 去生产其产品，产品按竞争市场中固定价格 4 元出售，生产函数为 Q=3L+1.5L²-0.01L³，劳动供给函数为 W=60+3L，求利润极大时的 L、Q和 W 之值。

解：

垄断利润最大化公式：MR=MC
MR = dR = d(P*Q)，P = 4，已知Q = 3L + 1.5L² – 0.01L³
因为MR = d(12L + 6L² – 0.04L³) = 12 + 12L – 0.12L²
MC = dC = d(W*L), W = 60 + 3L
所以 MC = d(60L + 6L²） = 60 + 6L
因为 12 + 12L – 0.12L² = 60 + 6L
解得
- – 0.12L² + 6L – 48 = 0
- 一元二次方程: $\frac{-(b)\pm \sqrt{b^{2}-4*a*c})}{2*a}$
- $\frac{-(6)\pm \sqrt{6^{2}-4*(-0.12)*(-48)})}{2*(-0.12))}$ = $\frac{-6\pm \sqrt{36-23.05})}{-0.24}$ = $\frac{-6\pm 3.6}{-0.24}$
求得L1= 9.6/0.24 = 40，或 L2 = 2.4/0.24 = 10
L1带入Q公式，Q1 = 3*40 + 1.5*40² – 0.01*40³ = 120 + 2400 – 640 = 1880
L2带入Q公式，Q2 = 3*10 + 1.5*10² – 0.01*10³ = 30 + 150 – 10 = 170
L1带入W公式，W1 = 60 + 3*40 = 60 + 120 = 180
L2带入W公式，W2 = 60 + 3*10 = 60 + 30 = 90

题：生成函数

某厂商以劳动作为唯一的可变要素，其生产函数为 Q = -0.01L³+L²+36L，Q为厂商每日产量，L为工人的日劳动小时数。已知产品市场与生产要素市场都是完全竞争的，且产品价格为0.1元，小时工资率为4.8元。试问：厂商使用的劳动量是多少？

解：

MPPL = dQ = -0.03 L² + 2L + 36
W = VMPL = P * MPPL =0.1 *（ -0.03 L² + 2L + 36） = 4.8
一元二次方差求解L
L = 20/3 或 L = 60
厂商使用的劳动量为60

题9-最大效用：

已知某消费者每月用2400元购买 X 和 Y 商品，他的效用函数为 U = XY，X 商品的价格为20元，Y 商品的价格为30元，

（1）为获得最大效用，该消费者应该购买 X 商品和 Y 商品各为多少？

（2）求最大总效用

（1）解：

题可得二元一次方程：20X+30Y = 2400
效用函数U = XY 求导可得： $MU_{X} = Y$ 和 $MU_{Y} = X$
最大效用条件： $\frac{MU_{X}}{P_{Y}} = \frac{MU_{Y}}{P_{X}}$ ，也等于 $\frac{X}{P_{Y}} = \frac{Y}{P_{X}}$
带入 $P_{X}$ = 20， $P_{Y}$ =30,可得 $\frac{X}{30}$ = $\frac{Y}{20}$ ，X = $\frac{30Y}{20}$
将X带入方程求Y ，20 * $\frac{30Y}{20}$ +30Y = 2400
可得 $Q_{Y}$ = 40， $Q_{X}$ = $\frac{40*30}{20}$ =60

方法二：

20X+30Y = 2400
X = 120 -1.5Y
带入U=XY = (120 -1.5Y) * Y = -1.5Y² + 120Y + 0
一元二次方程， $\frac{-(b)\pm \sqrt{b^{2}-4*a*c})}{2*a}$
a = -1.5 ,b= 120 ,c = 0
求Y = [0 , 80] , Qy = (80+0)/2 =40
Qx = 120 – 1.5*40 = 120-60 = 60

（2）解：

U = TUX +TUY = 20*60+ 40*30 = 1200+ 1200 = 2400

题2022年8月同考：

生产函数Q = 1000X+2000X²-3X³，当X为200，300，400时

求的MP和AP，
分别属于什么生产阶段。

解（1）：

总产量TP = Q = 1000X+2000X²-3X³
公式：AP = TP/L ，其中L=X，AP = （1000X+2000X²-3X³）/ X
带入X=200，AP1 = 381000
带入X=300，AP2 = 331000
带入X=400，AP3 = 321000
公式MP = dQ/dL ，其中L=X，MP = d（1000X+2000X²-3X³）
求导MP = 1000 + 4000X – 9X²
带入X=200，MP1 = 441000
带入X=300，MP2 = 391000
带入X=400，MP3 = 161000
所以X=200和300时，MP>AP，平均产量是递增
X=400，MP<AP，平均产量是递减

题2014年同考

某完全竞争企业的短期总成本函数为 TC=20+2Q+Q²，其产品价格 P=6

（1）短期均衡时的产量和利润（2）此时该厂商是否继续生产

解1：

利润最大化时MR = MC
MR = d(PQ) , MC = d(TC)
d(PQ) = d(6Q) = 6
d(TC) = d(20+2Q+Q²) = 2+2Q
2+2Q = 6, Q = 2
R = PQ – TC = 6Q – (20 + 2Q + Q²) = 12 – (20 + 4 + 4) = -16
产量 2,利润 -16

解2：

TC = 20 + 2Q + Q² , 其中总固定成本 = 20
TVC = 2Q + Q2
MC = 2 + Q , Q = 2 时
AVC = 2 + 2 = 4 < 6
平均成本4小于价格6，所以可以继续生产。

题00：

请问下列事件对自行车的供给会产生什么影响？

（1）生产自行车的技术有重大革新，

答：–生产成本下降，供给量增加，供给曲线右移。

（2）自行车行业内的企业数目减少；

答：供给减少，价格上升，供求曲线左移。

（3）自行车行业的工人工资和原材料价格上涨，

答：生产成本上升，价格上升，供给量减少

（4）预计自行车的价格会下跌；

答：预计降价，需求减少，供给增加

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经济学：微观计算题

公式

题1-收入点弹性：

题：点价格弹性

题2-交叉价格弹性：

题3-弧交叉价格弹性：

题4-收益最大化：

题6-最大利润、均衡状态：

题7-垄断企业利润最大化：

题8-垄断企业利润最大化：

解：

题：生成函数

题9-最大效用：

题2022年8月同考：

解（1）：

题00：

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