中正平和的机器人学笔记——5. 机械臂动力学

0. 基础知识

0.1 线加速度

上一篇中我们讲到了在坐标系{A}和坐标系{B}原点重合时，${}^{B}Q$的速度矢量的表示方式：

${}^A{V}_Q$ = ${}_B^A{R}^B{V}_Q$ + ${}^A{\Omega }_B$ $\times$ ${}_B^A{R}^{B}Q$ (5.1)

我们可以将左侧改写为如下形式：

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$(${}_B^A{R}^{B}Q$) = ${}_B^A{R}^B{V}_Q$ + ${}^A{\Omega }_B$ $\times$ ${}_B^A{R}^{B}Q$ (5.2)

记住这种形式的方程，会在求解加速度方程时很有用。
接下来推导线加速度的公式，大家一起动手推一下吧！
对式5.1求导，可得当坐标系{A}和坐标系{B}原点重合时，${}^{B}Q$的加速度在坐标系{A}中的表达式：

${}^A{\dot{V}}_Q$ = $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$(${}_B^A{R}^B{V}_Q$) + ${}^A{\dot{\Omega }}_B$ $\times$ ${}_B^A{R}^{B}Q$ + ${}^A{\Omega }_B$ $\times$ $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$(${}_B^A{R}^{B}Q$) (5.3)

对式5.3右侧的第一项和最后一项代入式5.2，整理后可得，

${}^A{\dot{V}}_Q$ = ${}_B^A{R}^B{\dot{V}}_Q$ + 2${}^A{\Omega }_B$ $\times$ ${}_B^A{R}^B{V}_Q$ + ${}^A\dot{\Omega }$ $\times$ ${}_B^A{R}^{B}Q$ + ${}^A{\Omega }_B$ $\times$ (${}^A{\Omega }_B$ $\times$ ${}_B^A{R}^{B}Q$) (5.4)

将上式扩展到原点不重合的情况，就得到了一般的表达式：

${}^A{\dot{V}}_Q$ = ${}^A{\dot{V}}_{BORG}$ + ${}_B^A{R}^B{\dot{V}}_Q$ + 2${}^A{\Omega }_B$ $\times$ ${}_B^A{R}^B{V}_Q$ + ${}^A\dot{\Omega }$ $\times$ ${}_B^A{R}^{B}Q$ + ${}^A{\Omega }_B$ $\times$ (${}^A{\Omega }_B$ $\times$ ${}_B^A{R}^{B}Q$) (5.5)

另外要指出，当计算旋转关节时，${}^{B}Q$为常量，那么，

${}^B{V}_Q$ = ${}^B{\dot{V}}_Q$ = 0
因此相应地，式5.5就可以简化为：

${}^A{\dot{V}}_Q$ = ${}^A{\dot{V}}_{BORG}$ + ${}^A\dot{\Omega }$ $\times$ ${}_B^A{R}^{B}Q$ + ${}^A{\Omega }_B$ $\times$ (${}^A{\Omega }_B$ $\times$ ${}_B^A{R}^{B}Q$) (5.6)

0.2 角加速度

接下来我们推导角加速度公式。假设坐标系{B}以角速度${}^A{\Omega }_B$相对于坐标系{A}转动，同时坐标系{C}以角速度${}^B{\Omega }_C$相对于坐标系{B}转动。

${}^A{\Omega }_C$ = ${}^A{\Omega }_B$ + ${}_B^A{R}^B{\Omega }_C$ (5.7)

对式5.6求导可得，

${}^A{\dot{\Omega }}_C$ = ${}^A{\dot{\Omega }}_B$ + $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{(}_B^A{R}^B{\Omega }_C)$ (5.8)

同样我们将式5.2带入上式最后一项，可以得到，

${}^A{\dot{\Omega }}_C$ = ${}^A{\dot{\Omega }}_B$ + ${}_B^A{R}^B{\dot{\Omega }}_C$ + ${}^A{\Omega }_B$ $\times$ ${}_B^A{R}^B{\Omega }_C$ (5.9)

上式用于计算机械臂连杆的角加速度。

0.3 质量分布

这里引入惯性张量（inertia tensor） 的概念，他可以表征刚体质量分布的方式，是对物体惯性矩的广义度量。给出如下3 $\times$ 3矩阵，

${}^{A}I$ = ( I x

今天的文章中正平和的机器人学笔记——5. 机械臂动力学分享到此就结束了，感谢您的阅读。