rsa公钥加密算法的提出者_rsa生成公钥和私钥的步骤「建议收藏」

RSA公钥加密算法

1. 什么是RSA？

• 计算机中常用的加密技术分为两类：对称加密、非对称加密。

• RSA属于非对称加密。加密、解密过程使用不同的秘钥，分为公钥、私钥。公钥可以公开，私钥不可以。

• 对称加密：加密和解密使用相同的的秘钥Key，这个Key需要在网络上传输，不安全，因此需要非对称加密。

2. RSA算法

2.1 生成公钥和私钥

（1）随意选择两个大的素数P和Q，P不等于Q；

（2）令 $N=P\times Q、T=(P-1)\times (Q-1)$；

（3）选择一个整数E作为秘钥，需要满足：gcd(E, T)=1 && E<T；

（4）根据 $(D\times E)modT=1$，计算出D，作为另一个秘钥；

（5）使用PK=(N、E)作为公钥、SK=(N, D)作为私钥（当然可以反过来）。

2.2 使用公钥加密信息

• 使用PK=(N、E)公钥加密信息。

• 若明文为M，则密文C可以按照如下计算得到（要求M<N）：

$$C=M^{E}modN$$

2.3 使用私钥解密信息

• 使用SK=(N, D)私钥解密信息。

• 如密文为C，则明文M可以按照如下计算得到：

$$M=C^{D}modN$$

3. 一个例子

生成公钥和私钥

• 取P=11、Q=13；

• $N=P\times Q=11\times 13=143、T=(P-1)\times (Q-1)=10\times 12=120$；

• 取E=7；

• 因为 $(D\times 7)mod120=1$，得到D=103。

• 因此公钥(N, E) = (143, 7)，秘钥(N, D)=(143, 103)

使用公钥加密信息

• 对数据M = 2进行加密，得到加密后的数据C：

$$\begin{gathered} C=M^{E}modN \\ =2^{7}mod143=128 \end{gathered}$$

使用私钥解密

• 对数据C=128进行解密，解密后的数据为M：

$$\begin{gathered} M=C^{D}modN \\ =128^{103}mod143=2 \end{gathered}$$

4. RSA的应用：数字签名

• 数字签名是实现安全交易的核心技术之一，实现基础是RSA加密技术。

• 数字签名类似于我们生活中的手写签名，必须保证签名的人事后不能抵赖，同时不能让别人伪造我们的签名。因此数字签名需要保证：

  • （1）发送者事后不能抵赖对报文的签名；

  • （2）接受者不能伪造对报文的签名。

• 如果A向B发送报文M，A手中有私钥，公钥是公开的，A给M使用私钥进行加密再发给B即可。

• 这样即可保证上述两点：

  • （1）因为只有A可以对M使用私钥进行加密，A不能抵赖；

  • （2）B用公钥可以得到原始信息M，如果伪造成M'，则A可以证明其伪造了信息。

5. RSA的安全性

• RSA算法的安全性依赖于大数分解。因此为了保证安全性，需要使得P、Q非常大。

• 因为数据很大，又牵涉到幂次运算，因此计算量很大。

6. 代码实现

/* 测试用例 11 13 */
#include <iostream>

#define x first
#define y second

using namespace std;

typedef pair<int, int> PII;

int p, q;  // 两个质数
int N, T;
int E, D;  // 公钥: (N, E), 私钥: (N, D)

PII PK, SK;  // 公钥、私钥

int gcd(int a, int b) { 
   
    return b ? gcd(b, a % b) : a;
}

void gen_keys() { 
     // 生成公钥、私钥
    
    N = p * q, T = (p - 1) * (q - 1);
    
    for (E = 2; ; E++)
        if (gcd(E, T) == 1)
            break;
    for (D = 2; ; D++)
        if (D * E % T == 1)
            break;
    
    PK = { 
   N, E}, SK = { 
   N, D};
}

int qmi(int a, int b, int p) { 
   
    
    int res = 1 % p;
    while (b) { 
   
        if (b & 1) res = res * a % p;
        a = a * a % p;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

int encryption(int m) { 
     // 加密
    
    int n = PK.x, e = PK.y;
    return qmi(m, e, n);
}

int decrypt(int c) { 
     // 解密
    
    int n = SK.x, d = SK.y;
    return qmi(c, d, n);
}

int main() { 
   
    
    cin >> p >> q;
    
    // 第一步：生成公钥、私钥
    gen_keys();
    printf("公钥: (%d, %d)\n", PK.x, PK.y);
    printf("私钥: (%d, %d)\n", SK.x, SK.y);
    
    // 第二步：加密
    int m = 2;
    int c = encryption(m);
    printf("%d 加密后的数据: %d\n", m, c);
    
    // 第三步：解密
    printf("%d 解密后的数据: %d\n", c, decrypt(c));
    
    return 0;
}

• 参考书：程序员的数学思维修炼。

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