1. 定义
假设
交换A的所有行和列后,形成的新矩阵,即为矩阵A的转置矩阵:
对一个矩阵进行转置的转置,结果是原矩阵:
2. 下面为转置矩阵的性质
分析矩阵时,我们主要从加法、乘法、零空间、列空间、秩、行列式等角度进行分析
矩阵又分为原始矩阵、逆矩阵、转置矩阵等,我们会分析这几种矩阵的加法、乘法、零空间、列空间、秩、行列式等之间的关系
2.1 矩阵加法的转置
矩阵加法的转置,等于矩阵转置的加法
证明:
假设
根据转置矩阵的定义:
根据矩阵加法的定义:
因此:
2.2 矩阵乘积的转置
矩阵乘积的转置,等于逆序的矩阵转置的乘积:
可以扩展到2个以上的矩阵:
证明:
假设
定义:
矩阵C,D中的分量为:
因此:
即C中的第i行,第j列元素,等于D中的第j行,第i列元素,且对所有元素都成立;从而C转置=D:
2.3. 转置矩阵的零空间、列空间、秩
2.3.1 转置矩阵的列空间,等于原始矩阵的行空间:
2.3.2 转置矩阵的零空间,是所有满足下面方程的向量x:
对等式两边分别转置:
现在得到了关于原始矩阵A的方程,因此转置矩阵的零空间为:
我们用另一个名字来称呼转置矩阵的零空间–原始矩阵的左零空间,为什么叫“左零空间”,因为现在是左乘x
2.3.3 零空间中的任意向量,与行空间中的任意向量正交(下一篇文章中证明)
2.3.4 列空间中的任意向量,与左零空间中的任意向量正交(下一篇文章中证明)
2.3.5 属性:转置的秩,与原矩阵相同(下一篇文章中证明)
2.4. 转置矩阵的行列式
性质:转置矩阵的行列式,等于原矩阵的行列式
证明过程(使用归纳法):
1. 证明对最基本的情况成立,例如2×2矩阵的行列式等于其转置矩阵的行列式
2. 假设对nxn矩阵成立,证明对(n+1)x(n+1)矩阵成立
3. 假设n=2, 如果2×2矩阵成立,那么3×3矩阵成立;如果3×3矩阵成立,那么4×4矩阵成立,等等
详细证明:
1. 证明2×2矩阵的行列式,等于其转置矩阵的行列式
假设:
那么:
因此:
2. 假设nxn矩阵的行列式等于其转置矩阵的行列式,证明(n+1)x(n+1)矩阵的行列式等于转置矩阵的行列式
假设:
那么:
根据B的第一行求行列式:
根据B的转置矩阵的第一列求行列式:
因为
为n x n 矩阵,我们又假设 n x n 矩阵的行列式等于其转置矩阵的行列式:
因此:
(n+1) x (n+1)矩阵的行列式等于其转置矩阵的行列式
3. 因为2×2矩阵的行列式等于其转置矩阵的行列式, 根据第二条证明,3×3矩阵的行列式等于其转置矩阵的行列式,依次类推,nxn矩阵的行列式等于其转置矩阵的行列式
2.5 逆矩阵的转置
逆矩阵的转置,是转置矩阵的逆矩阵
证明:
对等号两边同时转置:
利用2.2中介绍的“矩阵乘积的转置”:
因此,逆矩阵的转置,是转置矩阵的逆矩阵
3. 转置向量
既然可以求矩阵的转置,那么就没有理由不可以求向量的转置,因为向量是特殊的矩阵
性质一:,向量v和w的点积,等于v的转置与w的积(向量点积与积的关系)
性质二:
这两个性质是线性代数的基础
证明:
1. 假设
向量v和w的点积定义为:
v的转置与w的积(矩阵乘积):
因此,向量v和w的点积,等于v的转置与w的积
2.
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