哈希值的计算方法_gzip压缩比例

一.简介

时间复杂度和空间复杂度是衡量一段程序很重要的两个指标。利用映射思想可以大幅减少空间复杂度

有很多算法也是基于压缩空间的技巧实现的

二.康托展开与逆康托展开

1.思想

康托（Cantor）展开是一种全排列到数的映射，它的实质是通过排列的字典序建立的一个一一对应的双射

例：n=5时

排列 1 2 3 4 5 字典序是最小的，将其映射为0。

排列 1 2 3 5 4 映射为1。

排列 1 2 4 3 5 映射为2。

排列 1 2 4 5 3 映射为3。
……

性质：

康托展开是一种双射，即一个排列和一个数是一一对应的，因此也可以由一个数得到排列

意义：

用更小的空间储存排列

n=5的一个排列需要5个int型的整数来储存，康托展开后只需要1个int型整数即可存下

2.实现

例：[3 1 4 5 2]的康托展开

考虑第一位，若一个排列第一位为1或2，则其字典序必然小于[3 1 4 5 2]，这样的排列有$2\ast 4!$个（第一位取1或2，后面几位随便取所以是$4!$）

在第一位是3的情况下，考虑第二位，1已经是最小的了

在第一位是3、第二位是1的情况下，考虑第三位，1和3已经用过了，这一位还可以放2，所以还有$1\ast 2!$个排列比原排列[3 1 4 5 2]小

同理，考虑第四位，1、3、4都已经用过了，这一位还可以放2，所以还有$1\ast 1!$个排列比原排列小

第五位已经是最后一位不需要再考虑

综上，有$2\ast 4!+0\ast 3!+1\ast 2!+1\ast 1!=51$个排列比原排列[3 1 4 5 2 ]小，即原排列是第52小的排列，将其映射为51

从上述推理中可以得到康托展开的一般计算方法：

对于1~n的任意一个排列，其康托展开值为：

$Cantor(x)=a_1\ast (n-1)!+a_2\ast (n-2)!+\cdot \cdot \cdot +a_n-1\ast 1!$

n-i表示第i位后面还有几个位

$a_i$表示在前几位已经确定的情况下，还有几个可以取的数比当前位的数更小

而前几位已经确定意味着前几位没法选，可以取的数其实就在当前$a_i$即后面n-i个数中比当前位的数小的个数，这么转化是为了方便代码的书写

3.代码

int Cantor(vector<int>p){ 
    int ret=0;//结果 int len=p.size(); for(int i=0;i<len;i++){ 
    int cnt=0; //统计有几个数小于p[i] for(int j=i+1;j<len;j++) if(p[j]<p[i]) cnt++; ret+=factor[len-i-1]*cnt; } return ret; } 

4.逆康托展开

仍以排列[3 1 4 5 2]为例，考虑如何由51这个数得到排列

回想一下51是怎么得到的：

$Cantor(x)=a_1\ast (n-1)!+a_2\ast (n-2)!+\cdot \cdot \cdot +a_n-1\ast 1!$

逆康托展开：

①计算$51/(5-1)!$ 等于2余3，即得到$a_1=2$

②计算$3/(5-2)!$ 等于0余3，即得到$a_2=0$

③计算$3/(5-3)!$等于1余1，即得到$a_3=1$

④计算$1/(5-4)!$等于1余0，即得到$a_4=1$

回想$a_i$的含义：有几个可以取的数比当前位上的数小

所以：

①第一位可以取的数{1，2，3，4，5}，$a_1=2$，所以第一位上的数为3

②第二位上可以取的数{1，2，4，5}，$a_2=0$，所以第二位上的数为1

③第三位上可以取的数{2，4，5}，$a_3=1$，所以第三位上的数为4

④第四位上可以取的数{2，5}，$a_4=1$，所以第四位上的数为5

⑤还剩下一个2没取，最后一位上的数为2

综上得到排列[3 1 4 5 2]

计算方法：

集合vis存放未被取过的数，从i=1开始不断对康托展开值除以$(n-i)!$得到$a_i$，从集合vis中找第$a_i+1$小的数，并将其从集合vis中移除

之所以可以这么做得到$a_i$是因为可以保证$a_i<=(n-i)$，所以$a_i\ast (n-i)!<=(n-i+1)!$

对于$a_1\ast (n-1)!+a_2\ast (n-2)!+\cdot \cdot \cdot +a_n-1\ast 1!$，在除以$(n-i)!$时，后面几项的值必然都小于$(n-i)!$，所以做除法得到的结果必然是$(n-i)!$前的系数

（原理类似进制转换的模n取余法）

代码：

void deCantor(vector<int>&ret,int n,int len){ 
    //ret存放排列 n为康托展开值 len表示排列的长度 bool vis[len+10]; //标记哪些点被取过 memset(vis,0,sizeof(vis)); for(int i=len-1;i>=0;i--){ 
    int temp=n/factor[i]; //当前位上的数是可以取的数中第temp+1小的 int cnt=0; for(int j=1;j<=len;j++){ 
    if(vis[j]) continue; if(cnt==temp) { 
    vis[j]=1; ret.push_back(j); break; } cnt++; } n%=factor[i]; } } 

三.二进制压缩

1.思想

二进制压缩是将n位的bool数组压缩成一个n位的二进制数

对于任意一个点，我们用0或1来表示它的状态。所以只需要一个二进制位的信息就可以存下该状态，那n个点理想情况下用n个二进制的位就可以存下其状态了

对于0/1的信息常用的方法是用bool型的变量来存，但是bool型变量在内存占一个字节，一个字节是8个位，因此浪费了很多空间。

所以我们可以选择用int型的数来存n个点的状态，并用位运算来实现对某一个点状态的读取

2.实现

(n>>k)&1可以取出第k位的信息：

>>表示右移，右移k位后的二进制最低位即原来的第k位，与1作且运算后即得到了该位的信息

n=(n|(1<<k))可以实现对第k位赋1：

<<表示左移，1左移k位后得到的数为第k位为1其它位都是0的二进制数，和n进行或运算后可以保证n的二进制下第k位为1

n=(n&(~(1<<k)))可以实现对第k位赋0：

~表示按位取反，1左移k位后按位取反得到的数第k位为0，其它位都是1，和n进行且运算后可以保证n的二进制下第k位为0

3.应用

二进制枚举就应用到了这一特点，不过目的并不是为了空间的压缩而是代码的简洁性

二进制压缩的思想是将一些点的状态（只能有两种状态）用一个数来表示，主要应用在状压dp和搜索时

4.bitset

当要表示的点的个数超过了int所能表示的最大二进制位数时（比如100个点的状态用int是存不下的），可以用int型的数组，但是stl库中也提供了一个更方便的容器——bitset

可以将bitset理解为一个多位的二进制数，每8位占用一个字节节，空间效率非常高，所占空间是相同位数下bool数组的$\frac{1}{8}$：

上图列出了位数为801时bitset和bool数组存储空间的比较，为什么bitset占字节数是104而不是101呢？因为其以32位（4个字节）为一个单位进行管理，也就是说创建位数为1~32的bitset占用字节数都是4

bitset可以被视为一个二进制数，其操作如下：

bitset<100>a; //创建格式 bitset<100>b; //100为位数 a[i]; //可以利用[]操作符对其某一位进行赋值或取值 ~,&,|,^,>>,<<,==,!= //支持二进制运算 a.count(); //count函数计算1的个数 a.any(); //若a中至少含有1个1返回True a.none(); //a中不含1则返回True 

四.离散化

1.思想

离散化其实也是一种哈希，将无穷大集合中的若干数映射为有限集合以便于统计。其实现方法又和康托展开很像，是排序后将一个数映射为其在有序序列中的下标

2.实现

①将所有可能出现的数放到数组d中

②排序并去重

③二分查找下标

即将一个很大的数映射为它在数组ret（即去重后的d数组）中的位置，显然这也是一一对应的双射，可以通过查找下标来找到值

3.代码

int cnt=0; void discrete(){ 
    sort(d,d+t); for(int i=0;i<t;i++) if(!i||d[i]!=d[i-1]) ret[cnt++]=d[i]; } int Query(int x){ 
    return lower_bound(ret,ret+cnt,x)-ret; } 

可以做下CF上的一道例题感受一下：传送门

我写的这道题的题解：传送门

五.哈希

1.思想

哈希是一种压缩映射，即将复杂的信息压缩到一个可以维护的小区间的映射，离散化就是比较简单的一种哈希。而ACM中常用的哈希利用的是取模运算，即将一个大值X转化为X%P（P是一个比较大的质数），并采用链地址法解决冲突，下面的介绍的就是这种哈希的做法。

2.实现

假设P=13，X=1，Y=14，可以发现X%P和Y%P是相同的，这就是所谓的冲突。采用链地址法可以解决冲突：

创建一个类似邻接表的结构，建立一个表头数组head，head数组中的每个元素存放的都是一个链表的头节点。head[i]存放的是%P后值等于i的所有结点，也就是上面的X=1和Y=14都存放在head[1]的链表中

这样做的目的在于减少查询，对于一份随机的数据，其%P后的值应该相对均匀的分布在0~P-1中，这样就大大减小了查询的代价。要查一个特定的值X，只需要去遍历head[X%P]的链表就可以找到X。

3.字符串哈希

字符串Hash可以将一个字符串映射为一个非负整数（数显然比字符串要好操作的多）

实现：

将字符串看成一个P进制数（一般为131或13331），取模数M（一般取$2^{64}$)，将26个字母各赋一个值（a=1、b=2、……z=26），由此便可由一个字符串得到一个非负整数而且冲突概率非常低

之所以取$2^{64}$为模数是为了取消低效的模运算，因为这个数正好是unsigned long long 的上限，超过上限相当于自动取模

4.map

哈希本质上利用的是映射的思想，将信息映射到一个较小的可以维护的区间。stl库中的map也可以实现映射，从而达到哈希的目的。

今天的文章
哈希值的计算方法_gzip压缩比例分享到此就结束了，感谢您的阅读。