高斯频率计算_高斯信号表达式

系列文章目录

《信号类型（通信）——仿真（一）》

《信号类型（通信）——QAM调制信号（二）》

《信号类型（通信）——QPSK、OQPSK、IJF_OQPSK调制信号（三）》

《信号类型（通信）——最小频移键控MSK（四）》

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前言

前面介绍了MSK调制解调原理，其信号发射包络恒定，相位变化连续，相比于PSK有较好的频谱特性，但是仍存在相位不平滑（频率存在跳变）的问题，导致信号带外能量较大。为了进一步降低信号带外能量，高斯最小频移键控（GMSK）被提出。本文主要介绍GMSK调制原理，展示其带外频谱能量相比MSK的抑制效果。关于GMSK解调部分，后续根据学习情况进行补充，也欢迎在评论区留下优质资源链接。

一、GMSK信号特点

频移键控（FSK）调制相位存在跳变，这会引起FSK信号有较大的带外频谱能量，针对这一问题，连续相位频移键控（CPFSK）被提出，与FSK相比，其频率跳变过程中相位变化连续。为了进一步提升频谱利用率，提出了最小频移键控（MSK），与CPFSK相比，MSK在波形满足正交性情况下频率跳变最小。

MSK虽然保持了CPFSK中调制相位连续的优点，但是在移动通信环境，MSK信号频谱性能还是无法满足要求，带外能量还是太多，为了进一步降低MSK信号的带外能量，从调制相位历程出发，将存在频率跳变的折线型相位历程，通过预调制滤波器，转变为光滑的相位历程。结合无码间串扰下传输特性约束，不难发现，这种通过滤波处理改进调制相位历程进而优化调制信号频谱的方式，会造成码间串扰的问题。因此，改进的关键在于设计合理的预调制滤波器，以尽量小的码间串扰代价获得尽量好频谱带外能量抑制效果。结合MSK信号特点，预调制滤波器应该满足以下条件：

1）良好的频率截止特性；（带外能量抑制）

2）脉冲相应有限；（降低码间干扰）

3）积分相位满足 $\frac{\pi }{2}$ ；（MSK调制要求，保证信号波形的正交性）

（a）BT=0.3时星座图（b）MSK频谱与BT=0.3时GMSK频谱

图1

考虑到高斯函数优秀的平滑特性，预调制滤波器主要考虑高斯滤波器，由此这类调制也称为高斯最小频移键控（GMSK）（如果是其他滤波器呢？）。因为GMSK在牺牲较小的误码率损失（脉间串扰造成，BT=0.3时，损失信噪比1dB左右，对应星座图如图1（a）所示），就可以获得较好的频谱特性（带外有70-80dB以上的衰减，如图1（b）所示），在相同的数据传输速率时频道间距可以变得更紧密，特别适合移动通信环境（带外辐射功率限制，70-80dB以上的衰减），因此是GSM(Global System for Mobile communication)系统采用的调制方式之一。

GMSK信号可以表示为：

$e(t)=\cos(2\pi f_c t+\theta (t)) \; \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:(1)$

式（1）中的调制信息位于相位 $\theta \left ( t \right )$ 中，有两种等效理解：

理解1

$\theta (t)=2\pi\int_{-\infty }^{t} \frac{1}{4T_B}h\left ( \tau \right )\ast b\left ( \tau \right )d\tau \; \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:(2)$

其中 $f(t)=\frac{1}{4T_B}h\left ( \tau \right )\ast b\left ( \tau \right )=\frac{1}{4T_B}\int_{-\infty }^{t}b\left ( \tau \right )h\left ( t-\tau\right )d\tau$ 表示调制频率, $b(\tau )$ 为基带双极性波形信号 $b(\tau )=b_n rect\left ( \frac{\tau -nT_B-T_B/2}{T_B}\right )$ 。高斯滤波为 $h\left ( t \right )=\frac{\sqrt{\pi}}{\alpha }e^{-\left ( \frac{\pi}{\alpha }t \right )^{2}}$ ， $\alpha=\frac{\sqrt{\ln 2}}{\sqrt{2}B}$ 。为高斯滤波器 h(t) 的带宽，决定其时域有限长度。

理解2

$\theta (t)=2\pi\int_{-\infty }^{t} \frac{1}{4T_B}g\left ( \tau \right )\ast b_n\left ( \tau \right )d\tau \; \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:(3)$

其中 $f(t)=\frac{1}{4T_B}g\left ( t \right )\ast b_n\left ( t \right )=\frac{1}{4T_B}\int_{-\infty }^{t}b_n\left ( \tau \right )g\left ( t-\tau\right )d\tau$ , $b_n\left ( \tau \right )$ 为基带双极性脉冲信号 $b_n(\tau )=b_n \delta \left ( \tau -nT_B \right )$ 。高斯低通预调制滤波器（频率成型滤波器）为：

$g\left ( \tau \right )=h\left ( \tau \right )\ast rect \left ( \frac{\tau-T_B /2}{T_B} \right ) \; \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:(4)$

其中高斯滤波为 $h\left ( t \right )=\frac{\sqrt{\pi}}{\alpha }e^{-\left ( \frac{\pi}{\alpha }t \right )^{2}}$ ， $\alpha=\frac{\sqrt{\ln 2}}{\sqrt{2}B}$ 。为高斯滤波器 h(t) 的带宽，决定其时域有限长度。

二、GMSK调制

理解1 理解2

图2

GMSK调制可以简单的认为是将传输数据先经过高斯低通预调制滤波器实现调制频率成型，再进行最小频移键控(MSK)调制，形成GMSK信号。图2基于GMSK信号表达式的两种理解得到两种生成GMSK信号方式。两种方式在MATLAB仿真的效果是一种的，但是在实际电路实现过程，因为传输数据更新速率是按照码率进行的，因此基于第二中理解下的高斯预调制滤波器是实际常用的滤波器，其等效为传输数据先经过矩形窗函数的滤波，再经过高斯窗函数的滤波。因此最终GMSK调制原理如图3所示。