矩阵的trace怎么求_矩阵初等变换口诀

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以下内容节选自第三章3.5节

triu函数和tril函数，它们用法相同，可分别用来返回矩阵的上三角部分和下三角部分。

• triu(A,k)返回A的第k条对角线上以及该对角线上方的元素，其他位置元素用0填充，k等于0时可以简写成triu(A)。

• tril(A,k)返回A的第k条对角线上以及该对角线下方的元素，其他位置元素用0填充，k等于0时可以简写成tril(A)。

默认值k = 0是主对角线，k > 0位于主对角线上方，而k < 0位于主对角线下方。

下面我们用这两个函数来做一个有趣的练习题：生成一个n阶（例如n=4）的对称矩阵，里面的每个元素都是位于区间[0, 9]中的随机整数。

答案如下：

n = 4; num = n*(n-1)/2; A = zeros(n); A(triu(true(n),1)) = randi([0,9],num,1); A = A+A'+diag(randi([0,9],n,1)) % 随机生成的对称矩阵： 7 6 0 9 6 3 8 6 0 8 6 7 9 6 7 1

这几行代码综合性非常强，核心的思路就是将这个对称矩阵分成三个部分：首先随机生成对称矩阵的上半部分（不包括主对角线），这是一个上三角矩阵；然后将其转置来确保矩阵的元素是对称的；最后使用diag函数生成一个随机的对角矩阵。将上半部分、下半部分以及对角矩阵相加即可得到这个对称矩阵。

具体代码的解释如下：对于一个n阶的对称矩阵，它的上三角部分（不包括主对角线）有n*(n-1)/2个元素，上方代码中将其赋值给num；矩阵A初始化为一个n阶全为0的矩阵；true(n)创建了一个n阶的逻辑矩阵，其中所有元素都为逻辑值1；triu(true(n),1)返回了一个不包括主对角线的上三角的逻辑矩阵，我们用它对A矩阵进行逻辑索引； randi([0,9],num,1)生成了一个有num个元素的向量，其中每个元素都是位于区间[0, 9]中的随机整数；A(triu(true(n),1))选取了矩阵A的上三角部分（不包括主对角线），然后将其赋值为随机生成的整数；A’是矩阵A的转置，由于我们已经填充了A的上三角部分，将它转置我们可以确保下三角部分与上三角部分是对称的；diag(randi([0,9],n,1))生成了一个主对角线上的元素为区间[0, 9]中的随机整数，而其它地方都为0的n阶矩阵；将这三个矩阵相加，即可得到最终的对称矩阵。

以后我们学了循环语句后，还可以利用循环语句生成，虽然循环语句更直观且代码易于编写，但直接基于矩阵操作在MATLAB中通常更高效，尤其是对于大型矩阵。

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