本文只做简介,关于贝塞尔曲线和B样条曲线的详细介绍,请参考:详解样条曲线(上)(包含贝塞尔曲线)
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一、贝塞尔曲线
讲之前,我们先看一张图:
这里的 P0、P1、P2 分别称之为控制点,贝塞尔曲线的产生完全与这三个点位置相关。
这也就意味着,我们可以通过调节控制点的位置,进而调整整个曲线。
那么,似乎最开始的控制点,也不一定是三个?如果是四个、五个,甚至更多呢?
如此一来,你会发现贝塞尔曲线内的递归结构。实际上,上述介绍的分别是三阶、四阶、五阶的贝塞尔曲线,贝塞尔曲线可以由阶数递归定义。
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下面直接给贝塞尔曲线的通用公式
假设一共有 n + 1 \mathrm{n}+1 n+1 个点 P 0 , P 1 , ⋯ , P n \mathrm{P}_0, \mathrm{P}_1, \cdots, \mathrm{P}_{\mathrm{n}} P0,P1,⋯,Pn ,这 n + 1 \mathrm{n}+1 n+1 个点确定了 n \mathrm{n} n 次的贝塞尔曲线。
n n n 阶贝塞尔曲线 B n ( t ) B^n(t) Bn(t) 可以由前 n n n 个点决定的 n − 1 n-1 n−1 次贝塞尔曲线 B n − 1 ( t ∣ P 0 , ⋯ , P n − 1 ) B^{n-1}\left(t \mid P_0, \cdots, P_{n-1}\right) Bn−1(t∣P0,⋯,Pn−1) 与后 n n n 个点决定的 n − 1 n-1 n−1 次贝塞尔曲线 B n − 1 ( t ∣ P 1 , ⋯ , P n ) \mathrm{B}^{\mathrm{n}-1}\left(\mathrm{t} \mid \mathrm{P}_1, \cdots, \mathrm{P}_{\mathrm{n}}\right) Bn−1(t∣P1,⋯,Pn) 线性组合递推而来,即
B n ( t ∣ P 0 , P 1 , ⋯ , P n ) = ( 1 − t ) B n − 1 ( t ∣ P 0 , P 1 , ⋯ , P n − 1 ) + t B n − 1 ( t ∣ P 1 , P 2 , ⋯ , P n ) \mathrm{B}^{\mathrm{n}}\left(\mathrm{t} \mid \mathrm{P}_0, \mathrm{P}_1, \cdots, \mathrm{P}_{\mathrm{n}}\right)=(1-\mathrm{t}) \mathrm{B}^{\mathrm{n}-1}\left(\mathrm{t} \mid \mathrm{P}_0, \mathrm{P}_1, \cdots, \mathrm{P}_{\mathrm{n}-1}\right)+\mathrm{t} \mathrm{B}^{\mathrm{n}-1}\left(\mathrm{t} \mid \mathrm{P}_1, \mathrm{P}_2, \cdots, \mathrm{P}_{\mathrm{n}}\right) Bn(t∣P0,P1,⋯,Pn)=(1−t)Bn−1(t∣P0,P1,⋯,Pn−1)+tBn−1(t∣P1,P2,⋯,Pn)
且一次贝塞尔曲线,即为由两点决定的线段,也即
B 1 ( t ∣ P 0 , P 1 ) = ( 1 − t ) P 0 + t P 1 \mathrm{B}^1\left(\mathrm{t} \mid \mathrm{P}_0, \mathrm{P}_1\right)=(1-\mathrm{t}) \mathrm{P}_0+\mathrm{tP}_1 B1(t∣P0,P1)=(1−t)P0+tP1
可以得到 n \mathrm{n} n 次贝塞尔曲线的表达通式为
B ( t ) = ∑ i = 0 n C n i ( 1 − t ) n − i t i P i B(t)=\sum_{i=0}^n C_n^i(1-t)^{n-i} t^i P_i B(t)=i=0∑nCni(1−t)n−itiPi
有了通用公式,我们就可以通过遍历t来离散化贝塞尔曲线了!
二、B样条曲线
几个概念
- 控制点: 也就是控制曲线的点,等价于贝塞尔函数的控制点,通过控制点可以控制曲线形状。假设有 n + 1 n+1 n+1 个控制点 P 0 , P 1 , P 2 , ⋯ , P n \mathrm{P}_0, \mathrm{P}_1, \mathrm{P}_2, \cdots, \mathrm{P}_{\mathrm{n}} P0,P1,P2,⋯,Pn
- 节点: 这个跟控制点没有关系,而是人为地将目标曲线分为若干个部分,其目的就是尽量使得各个部分有所影响但也有一定独立性, 这也是为什么B样条中,有时一个控制点的改变,不会很大影响到整条曲线,而只影响到局部的原因,这是区别于贝塞尔曲线的一 点。节点划分影响到权重计算,可以预想到的是,实现局部性的影响的原理应该是在生成某区间内的点时,某些控制点前的权重值会 为 0 ,即对该点没有贡献,所以才有上述特点。事实上,就是如此的。先了解有这个概念即可。假设我们划分了 m + 1 m+1 m+1 个节点 t 0 , t 1 , ⋯ , t m \mathrm{t}_0, \mathrm{t}_1, \cdots, \mathrm{t}_{\mathrm{m}} t0,t1,⋯,tm ,将曲线分成了 m \mathrm{m} m 段
- 次与阶:次的概念就是贝塞尔中次的概念,即权重中 t t t 的最高幂次。而 阶=次 +1 。这里只需要知道次这个概念即可。假设我们用 k k k 表示次,即 k \mathrm{k} k 次。
B 样条曲线比贝塞尔曲线的设计要复杂许多,我们直接通过他们的公式大致比较一下贝塞尔曲线与 B 样条曲线的区别:
贝塞尔曲线
B ( t ) = ∑ i = 0 n C n i ( 1 − t ) n − i t i P i , t ∈ [ 0 , 1 ] B(t)=\sum_{i=0}^n C_n^i(1-t)^{n-i} t^i P_i, \quad t \in[0,1] B(t)=i=0∑nCni(1−t)n−itiPi,t∈[0,1]
B样条曲线
对于 n + 1 n+1 n+1 个控制点 P 0 , P 1 , ⋯ , P n P_0, P_1, \cdots, P_n P0,P1,⋯,Pn ,有一个包含 m + 1 m+1 m+1 个节点的列表 (或节点向量) t 0 , t 1 , ⋯ , t m t_0, t_1, \cdots, t_m t0,t1,⋯,tm ,其 k k k 次 B B B 样条曲线表达式为 (且 m = n + k + 1 ) m=n+k+1) m=n+k+1)
P ( t ) = ∑ i = 0 n B i , k ( t ) P i \mathrm{P}(\mathrm{t})=\sum_{\mathrm{i}=0}^{\mathrm{n}} \mathrm{B}_{\mathrm{i}, \mathrm{k}}(\mathrm{t}) \mathrm{P}_{\mathrm{i}} P(t)=i=0∑nBi,k(t)Pi
可以发现,B样条曲线的核心就是 B i , k ( t ) \mathrm{B}_{\mathrm{i}, \mathrm{k}}(\mathrm{t}) Bi,k(t) ,它被称为 k 次 B 样条基函数,也叫调和函数。
它满足如下递推式(deBoor递推式):
k = 0 , B i , 0 ( t ) = { 1 , t ∈ [ t i , t i + 1 ] 0 , Otherwise k > 0 , B i , k ( t ) = t − t i t i + k − t i B i , k − 1 ( t ) + t i + k + 1 − t t i + k + 1 − t i + 1 B i + 1 , k − 1 ( t ) \begin{gathered} \mathrm{k}=0, \quad \mathrm{~B}_{\mathrm{i}, 0}(\mathrm{t})= \begin{cases}1, & \mathrm{t} \in\left[\mathrm{t}_{\mathrm{i}}, \mathrm{t}_{\mathrm{i}}+1\right] \\ 0, & \text { Otherwise }\end{cases} \\ \mathrm{k}>0, \quad \mathrm{~B}_{\mathrm{i}, \mathrm{k}}(\mathrm{t})=\frac{\mathrm{t}-\mathrm{t}_{\mathrm{i}}}{\mathrm{t}_{\mathrm{i}+\mathrm{k}}-\mathrm{t}_{\mathrm{i}}} \mathrm{B}_{\mathrm{i}, \mathrm{k}-1}(\mathrm{t})+\frac{\mathrm{t}_{\mathrm{i}+\mathrm{k}+1}-\mathrm{t}}{\mathrm{t}_{\mathrm{i}+\mathrm{k}+1}-\mathrm{t}_{\mathrm{i}+1}} \mathrm{~B}_{\mathrm{i}+1, \mathrm{k}-1}(\mathrm{t}) \end{gathered} k=0, Bi,0(t)={
1,0,t∈[ti,ti+1] Otherwise k>0, Bi,k(t)=ti+k−tit−tiBi,k−1(t)+ti+k+1−ti+1ti+k+1−t Bi+1,k−1(t)
三、Python 代码实现B样条曲线离散化
import time
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
def getB(i, k, t, T, B):
''' 获取B[i][k]的值 :param i: B样条基函数矩阵行索引 :param k: 当前阶数(B样条基函数矩阵列索引) :param t: 当前t值 :param T: 节点值列表 :param B: B样条基函数矩阵 :return: B[i][k]的值 '''
if B[i, k] < 0:
if k == 0:
if T[i] <= t <= T[i + 1]:
B[i, k] = 1
else:
B[i, k] = 0
else:
w1 = w2 = 0
if T[i + k] - T[i] != 0:
w1 = (t - T[i]) / (T[i + k] - T[i])
if T[i + k + 1] - T[i + 1] != 0:
w2 = (T[i + k + 1] - t) / (T[i + k + 1] - T[i + 1])
B[i, k] = w1 * getB(i, k - 1, t, T, B) + w2 * getB(i + 1, k - 1, t, T, B)
return B[i][k]
def plot_spline(P, K, T):
''' 根据P、K、T绘制离散化的B样条曲线及其控制点 :param P: 控制点列表 :param K: B样条曲线阶数 :param T: 节点值列表 :return: None '''
startTime = time.time()
t = min(T)
step = T[-1] / 100
X, Y = [], []
while t <= max(T):
B = np.zeros((len(T) - 1, K + 1))
B.fill(-1)
x = y = 0
for i in range(len(P)):
b = getB(i, K, t, T, B)
x += b * P[i][0]
y += b * P[i][1]
X.append(x)
Y.append(y)
t += step
print("用时:", (time.time() - startTime), "s")
plt.plot(X, Y, marker='o', label="fit point")
plt.scatter([p[0] for p in P], [p[1] for p in P], color="red", label="control point")
plt.legend()
plt.show()
if __name__ == '__main__':
''' P: 控制点列表 T: 节点值列表 K: B样条曲线阶数 '''
# 测试案例1
P = [[50, 50], [100, 300], [300, 100], [380, 200], [400, 600]]
T = [0, 0, 0, 4 / 9, 5 / 9, 1, 1, 1]
K = 2
plot_spline(P, K, T)
# 测试案例2
P = [[2982.51, 9384.89], [3478.42, 4212.45], [9353.02, 6690.64], [4635.54, 1810.51], [12951.5, 5940.83],
[7458.4, 10299.9], [14973.3, 7948.8], [8780.82, 11392.9], [14792.3, 10948.1]]
T = [0, 0, 0, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 6, 6, 6]
K = 3
plot_spline(P, K, T)
控制台输出
用时: 0.001992940902709961 s
用时: 0.003986835479736328 s
结果展示
四、C++ 代码实现B样条曲线离散化
4.1 主要代码
// 递归填B表
double getBValue(int i, int k, double t, vector<double> kVector, vector<vector<double>> B){
if (B[i][k] == NULL){
if (k == 0){
if (kVector[i] <= t && kVector[i + 1] >= t){
B[i][k] = 1;
}
else{
B[i][k] = 0;
}
}
else{
double w1 = 0;
double w2 = 0;
if (kVector[i + k] - kVector[i] != 0){
w1 = (t - kVector[i]) / (kVector[i + k] - kVector[i]);
}
if (kVector[i + k + 1] - kVector[i + 1] != 0){
w2 = (kVector[i + k + 1] - t) / (kVector[i + k + 1] - kVector[i + 1]);
}
B[i][k] = w1 * getBValue(i, k - 1, t, kVector, B) + w2 * getBValue(i + 1, k - 1, t, kVector, B);
}
}
return B[i][k];
}
// B样条曲线离散化
DXFPolyLineEntities splineDiscretization(DXFSpline spline){
DXFPolyLineEntities poly = DXFPolyLineEntities();
int K = spline.degree;
// 获取kVector
vector<double> kVector(spline.kVector.size());
for (int i = 0; i < spline.kVector.size(); i++){
kVector[i] = spline.kVector[i].k;
}
// 根据函数获得离散点
for (double t = kVector[0]; t <= kVector[spline.nKnots - 1]; t += (kVector[spline.nKnots - 1] / SPLINE_D)){
double x = 0.0;
double y = 0.0;
// 初始化B表
vector<vector<double>> B(spline.nKnots - 1, vector<double>(K + 1,NULL));
// 遍历控制点集合
for (int i = 0; i < spline.controlPointVector.size(); i++){
// 已知 i,K,t, 推出B值
double bValue = getBValue(i, K, t, kVector, B);
x += (bValue * spline.controlPointVector[i].x);
y += (bValue * spline.controlPointVector[i].y);
}
poly.vertex.push_back(DL_VertexData(x, y));
}
return poly;
}
4.2 其余类
//多段线实体对象
class DXFPolyLineEntities
{
public:
vector<DL_VertexData> vertex;//顶点
bool isclose;//闭合标志位
};
/** * Vertex Data. */
struct DXFLIB_EXPORT DL_VertexData {
/** * Constructor. * Parameters: see member variables. */
DL_VertexData(double px=0.0, double py=0.0, double pz=0.0,
double pBulge=0.0) {
x = px;
y = py;
z = pz;
bulge = pBulge;
}
/*! X Coordinate of the vertex. */
double x;
/*! Y Coordinate of the vertex. */
double y;
/*! Z Coordinate of the vertex. */
double z;
/*! Bulge of vertex. * (The tangent of 1/4 of the arc angle or 0 for lines) */
double bulge;
};
// 样条曲线对象
class DXFSpline
{
public:
// 样条曲线的阶数
int degree;
// 节点数
int nKnots;
// 控制点数
int nControl;
// 拟合点数(如果有)
int nFit;
// 样条曲线标志(按位编码)
// 1 = 闭合样条曲线;
// 2 = 周期样条曲线;
// 4 = 有理样条曲线;
// 8 = 平面;
// 16 = 线性(同时设置平面位)
int flags;
// 相切开始和结束点坐标
double tangentStartX;
double tangentStartY;
double tangentStartZ;
double tangentEndX;
double tangentEndY;
double tangentEndZ;
// 控制点集合
vector<DL_ControlPointData> controlPointVector;
// 拟合点集合
vector<DL_FitPointData> fitPointVector;
// 节点值集合
vector<DL_KnotData> kVector;
};
/** * Spline control point data. */
struct DXFLIB_EXPORT DL_ControlPointData {
/** * Constructor. * Parameters: see member variables. */
DL_ControlPointData(){
}
DL_ControlPointData(double px, double py, double pz, double weight) {
x = px;
y = py;
z = pz;
w = weight;
}
/*! X coordinate of the control point. */
double x;
/*! Y coordinate of the control point. */
double y;
/*! Z coordinate of the control point. */
double z;
/*! Weight of control point. */
double w;
};
/** * Spline fit point data. */
struct DXFLIB_EXPORT DL_FitPointData {
/** * Constructor. * Parameters: see member variables. */
DL_FitPointData(){
}
DL_FitPointData(double x, double y, double z) : x(x), y(y), z(z) {
}
/*! X coordinate of the fit point. */
double x;
/*! Y coordinate of the fit point. */
double y;
/*! Z coordinate of the fit point. */
double z;
};
/** * Spline knot data. */
struct DXFLIB_EXPORT DL_KnotData {
/** * Constructor. * Parameters: see member variables. */
DL_KnotData() {
}
DL_KnotData(double pk) {
k = pk;
}
/*! Knot value. */
double k;
};
4.3 离散效果展示(在CAD中展示)
案例1
案例2
案例3
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