2015年数学建模A题——太阳影子定位问题（思路&代码）待更

题目

模型假设

• 假设地球为标准球体
• 假设太阳光线为平行光线
• 假设地球自转角速度为常量
• 假设摄像机的摆放与地平线平行
• 假设忽略折射现象的影响
• 在不特别说明的情况下，经度指东经的经度，纬度指北纬的纬度

第一问

第一问思路

各个参数的含义：

1. 日期（准确的说叫日期序号，即一年当中的第几天）
2. 时间（9点钟对应9，9点10分对应9+10/60)
3. 经度
4. 纬度
5. 直杆高度

查阅资料，找到太阳影子长度和这些参数的关系式，模型即建立完毕。

第一问模型

影子长度$l$,太阳影子顶点横坐标$x$,太阳影子顶点纵坐标$y$,满足关系：
$$l=\sqrt{x^2+y^2}$$

而太阳影子横纵坐标满足关系式：
$$\{\begin{array}{l}x=\sqrt{\frac{h^2{\tan }^2(A-\pi )}{{\tan }^2\alpha (1+ta{n}^2(A-\pi ))}}\\ y=\sqrt{\frac{h^2}{{\tan }^2\alpha (1+ta{n}^2(A-\pi ))}}\end{array}$$

其中
$$\{\begin{array}{l}\alpha =\arcsin (\sin \varphi \sin \delta +\cos \varphi \cos \delta \cos \omega )\\ A=\arcsin \left(\frac{-\sin \omega \cos \delta }{\cos \alpha }\right)\\ \omega =15\left(t_s+\frac{\sigma -120}{15}-12\right)\\ \delta =23.45\sin \left(\frac{2\pi (284+n)}{365}\right)\end{array}$$

主要参数：$\varphi$：北纬度数 、$\sigma$: 东经度数、$t_s$:标准时、$n$：一年当中的第几天、$h$：直杆高度

中间参数：$\delta$:太阳赤纬角（仅与n有关）、$\omega$:太阳时角（与标准时，所在地区东经度数有关）、$\alpha$:太阳高度角（与前两个中间参数和北纬度数有关）、$A$:太阳高度角（与前三个中间参数有关）

第一问求解的python代码

from numpy import *
import matplotlib.pyplot as plt
#防作图中文乱码
plt.rc("font",family='SimHei')
#防作图负号乱码
plt.rc("axes",unicode_minus=False)

#定义变量
# l存储影长
# x存储影子顶点横坐标
# y存储影子顶点纵坐标
# h存储直杆高度
# n存储一年中的第几天
# t存储标准时
# bei_wei存储北纬度数
# dong_jing存储东经度数
# chi_wei_jiao存储太阳赤纬角(仅与n有关)
# shi_jiao存储太阳时角(与标准时和东经度数有关)
# gao_du_jiao存储太阳高度角(与北纬度数，东经度数和太阳时角有关)
# fang_wei_jiao存储太阳方位角(与东经度数，太阳时角和太阳高度角有关)
def f(h=3,n=295,t=12,bei_wei=(39+54/60+26/3600),dong_jing=116+23/60+29/3600):
    #将北纬的角度转弧度
    bei_wei = bei_wei * pi/180

    #由n确定太阳赤纬角(弧度制)
    chi_wei_jiao = (23.45*sin(2*pi*(284+n)/365))*pi/180
    #由标准时和东经度数确定太阳时角(弧度制)
    shi_jiao = (15*(t+(dong_jing-120)/15-12))*pi/180
    #太阳高度角的确定(弧度制)
    gao_du_jiao = arcsin(sin(bei_wei)*sin(chi_wei_jiao)+cos(bei_wei)*cos(chi_wei_jiao)*cos(shi_jiao))
    if gao_du_jiao < 0 or gao_du_jiao > pi/2:
        l = 300
    else:
        l = h/tan(gao_du_jiao)
    return l

# 作影子长度与杆高的关系图
# h = linspace(2,4,100000)
# y1 = empty((100000,1))
# for i in range(100000):
# y1[i] = f(h=h[i]) 
# plt.plot(h,y1)
# plt.xlabel('杆高(m)')
# plt.ylabel('影子长度(m)')

# 作影子长度与日期的关系图
# n = linspace(0,365,100000)
# y2 = empty((100000,1))
# for i in range(100000):
# y2[i] = f(n=n[i]) 
# plt.plot(n,y2)
# plt.xlabel('日期(天)')
# plt.ylabel('影子长度(m)')

# 作影子长度与时间的关系图
# t = linspace(0,24,100000)
# y3 = empty((100000,1))
# for i in range(100000):
# y3[i] = f(t=t[i]) 
# plt.plot(t,y3)
# plt.ylim(0,301)
# plt.xlabel('时间(h)')
# plt.ylabel('影子长度(m)')

# 作影子长度与北纬度数的关系图
# bei_wei = linspace(-90,90,100000)
# y4 = empty((100000,1))
# for i in range(100000):
# y4[i] = f(bei_wei=bei_wei[i]) 
# plt.plot(bei_wei,y4)
# plt.ylim(0,301)
# plt.xlabel('北纬度数(°)')
# plt.ylabel('影子长度(m)')

#作影子长度与东经度数的关系图
# dong_jing= linspace(-180,180,100000)
# y5 = empty((100000,1))
# for i in range(100000):
# y5[i] = f(dong_jing=dong_jing[i]) 
# plt.plot(dong_jing,y5)
# plt.ylim(0,301)
# plt.xlabel('东经度数(°)')
# plt.ylabel('影子长度(m)')

# 模型应用
# t = linspace(9,15,100000)
# y6 = empty((100000,1))
# for i in range(100000):
# y6[i] = f(t=t[i]) 
# plt.plot(t,y6)
# plt.xlabel('时间')
# plt.ylabel('影子长度(m)')

# 计算影子最短的时候和这个时候的影子长度
# x0 = t[0]
# for i in range(99999):
# if f(t=t[i+1]) < f(t=t[i]):
# x0 = t[i+1] 
# fen_zhong = (x0 - x0//1)*60
# miao_zhong = (fen_zhong-fen_zhong//1)*60
# print("%d:%d:%d"%(x0//1,fen_zhong,miao_zhong))
# print("%.4f"%f(t=x0))

#显示图像
plt.show()

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