三次样条插值matlab例题_Hermite插值法例题求解

插值算法

一般定义

若P(x)为次数不超过n的代数多项式，即
$$P(x)=a_0+a_{1}x+\dots +a_n{x}^n$$

• 若P(x)为分段多项式，即分段插值
• 若P(x)为三角多项式，即三角插值（一般用到傅里叶变换等复杂的数学工具）

拉格朗日插值法

在若干个不同的地方得到的观测值，拉格朗日插值发可以找到一个多项式，恰好在各个观测点取到观测值。

拉格朗日插值函数：（存在缺陷）
$$\begin{gathered} L_n(x)=\sum _{i=0}^n{y}_i(\prod _{j=0 \\ j\ne i}^n\frac{x-x_j}{x_i-x_j}) \end{gathered}$$
上述方法存在着龙格现象（Runge phenomemon），由下图可知：

高次插值会产生龙格现象，在两端的波动极大，产生明显的震荡。在不熟悉曲线运动趋势的前提下，尽量不要使用高次插值。

牛顿插值法

$$\begin{gathered} f(x)=f(x_0)+f[x_0,x_1](x-x_0) \\ +f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1)+\dots \\ +f[x_0,x_1,\dots ,x_{n-1},x_n](x-x_0)\dots (x-x_n) \end{gathered}$$

差商：
$$称f[x_0,x_k]=\frac{f(x_k)-f(x_0)}{x_k-x_0}为f(x)关于x_0,x_k的一阶差商$$
二阶差商：
$$f[x_0,x_1,x_2]=\frac{f[x_0,x_2]-f[x_0,x_1]}{x_2-x_1}$$
k阶差商：
$$f[x_0,x_1,\dots ,x_k]=\frac{f[x_1,\dots ,x_{k-1},x_k]-f[x_0,x_1,\dots ,x_{k-1}]}{x_k-x_0}$$

两种插值法的对比

由于牛顿插值法每次插值只和前n项的值有关，每次只要在原来的函数上添加新的项，产生新的函数

故牛顿插值法具有继承性，但仍存在龙格现象。

为了应对数学建模比赛，我们基本上用的是以下两种插值方法：

① 分段三次埃尔米特（Hermite）插值法

直接使用Hermite插值算法得到的多项式次数较高时，存在龙格现象，因此实际使用中，一般使用分段三次Hermite插值多项式。（PCHIP）

Matlab中的内置函数：

% x为已知样本点的横坐标，y是已知样本点的纵坐标
% new_x是要插入处对应的横坐标，返回p为new_x带入插值多项式下的值
p = pchip(x,y,new_x)

②三次样条插值法

三次样条插值生成的曲线更加光滑

% x为已知样本点的横坐标，y是已知样本点的纵坐标
% new_x是要插入处对应的横坐标，返回p为new_x带入插值多项式下的值
p = spline(x,y,new_x)

下面比较这两种插值法：

clc,clear;
x = -pi:pi;
y = sin(x);
new_x = -pi:0.1:pi;
% 分段三次Hermite插值
p1 = pchip(x,y,new_x);
% 三次样条插值
p2 = spline(x,y,new_x);
figure(1);
plot(x,y,'o',new_x,p1,'r-',new_x,p2,'g-');
legend('样本点','三次Hermite插值','三次样条插值','Location','NorthWest')

在预测模型中，可以使用以上插值法进行预测：

clc,clear;
load population.mat
year = 2009:2018;
% 分段三次Hermite插值预测
p1 = pchip(year, A, 2018:2021);
% 三次样条插值预测 （更加平滑）
p2 = spline(year, A, 2018:2021);
figure(2);
plot(year,A,'o--',2018:2021,p1,'r*-',2018:2021,p2,'bx-')

n维数据的插值法

p = interpn(x1, x2,..., xn, y, new_x1, new_x2,..., new_xn, method)
% x2,x2,...,xn为已知样本点的横坐标
% y是已知样本点的纵坐标
% new_x1,new_x2,...,new_xn是插入点的横坐标
% method:
% 'linear'：线性插值
% 'cubic'：三次插值
% 'spline'：三次样条插值法（最精准）
% 'nearest'：最邻近插值法

p = interpn(x,y,new_x,'spline');
% 等价于
p = spline(x,y,new_x);		% 更加光滑，连续

clc,clear;
load A1.mat
load A2.mat

x = 1:2:15;
y_label={ 
   '周数','轮虫','溶氧','COD','水温','PH值','盐度','透明度','总碱度','氯离子','透明度','生物量'};
for i = 1:11
   y = A1(i,:);
   new_x = 1:15;
   p = spline(x,y,new_x);
   disp(p);
   subplot(4,3,i);
   plot(x,y,'ro',new_x,p,'b-');
   % axis([0,15,-inf,inf])
   xlabel('周数');
   ylabel(y_label{ 
   i});
end

参考资料：数学建模清风：论文写作方法课程 https://www.bilibili.com/video/BV1Na411w7c2

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