导航坐标系是什么坐标系_大地坐标系和平面直角坐标系的转换

一、导航常用坐标系

1.1、惯性坐标系（i系）

惯性坐标系在惯性空间中静止

1.1.1、日心惯性坐标系

太阳绕银河系中心的旋转角速度很小，对研究太阳系内导航精度影响可以忽略

原点：太阳的球心

Z轴：垂直于地球公转的轨道平面

X、Y轴：指向银河系内其他恒星，与Z轴满足右手坐标系

1.1.2、地心惯性坐标系

可用于研究地球表面导航

原点：地心

Z轴：地球自转轴

X、Y轴：在赤道平面内指向太阳系外的任意恒星

1.1.3、发射点惯性坐标系

用于研究近地面/近地空间内相关载体运动

原点：地面上导弹发射点

Y轴：过发射点的相对于地面的垂线，向上为正

X轴：垂直于Y轴，指向打击目标

Z轴：与X、Y轴构成右手坐标系

1.2、地球坐标系（e系）

地球坐标系随地球转动

原点：地心

Z轴：沿地球自转轴方向

X轴：赤道平面内，与零度子午线相交

Y轴：与X、Z轴形成右手坐标系

地球坐标系相对惯性坐标系的转动角速度:

$w_{ie}= 7.2921151647 \times 10^{-5} rad/s = 15.04108 ^ \circ /h$

1.3、地理坐标系（g系）

东北天地理坐标系（ENU）

原点：载体质心

Z轴：沿当地地理垂线方向

X轴：沿当地纬线方向

Y轴：沿当地经线方向

1.4、地平坐标系（t系）

也称航机坐标系

原点：与载体质心重合

Z轴：沿当地的垂线方向

X、Y轴：在水平面内

1.5、载体坐标系（b系）

“右前上”

原点：与载体质心重合

X轴：沿载体横轴向右

Y轴：沿载体纵轴向前

Z轴：沿载体竖轴向上

1.6、平台坐标系（p系）

描述平台式惯导系统中平台指向的坐标系，它与平台固连。

如果平台无误差，则为理想平台坐标系。

二、转动角速度计算

2.1、地球自转角速率（ $w_{ie}$ ）

地球坐标系相对于惯性参考坐标系的转动角速度

$w_{ie}$ 在地理坐标系下的投影：

$w^g_{iex} = 0 \\ w^g_{iey} = w_{ie}cosL \\ w^g_{iez} = w_{ie}sinL$

其中L代表载体纬度

2.2、地理坐标系相对于地球坐标系的转动角速度

载体相对于地球的运动引起地理坐标系相对于地球坐标系的转动

载体纬度为L，高度为h，水平速度为V，速度与北向的夹角为\psi，地球半径为R

在地理坐标系下，载体北向速度与东向速度为：

$V_N = Vcos\psi \\V_E = Vsin\psi$

载体北向速度 V_N 引起的地理系相对地球系的转动（投影至g系）：

$w^g_{egx} = -V_N/(R+h) = -Vcos\psi/(R+h)$

载体东向速度 V_E 引起的地理系相对地球系的转动（投影至e系）：

$w^e_{egz} = V_E/(R+h)cosL = Vsin\psi/((R+h)cosL)$

将 $w^e_{egz}$ 投影至g系：

$w^g_{egy} = w^e_{egz}\bullet cosL = Vsin\psi/(R+h) \\ w^g_{egz} = w^e_{egz}\bullet sinL = Vsin\psi tanL/(R+h)$

载体天向速度 V_U 不会引起地理系相对地球系的转动

综上，地理坐标系相对于地球坐标系的角速度为：

$w^g_{egx} = -Vcos\psi/(R+h) \\ w^g_{egy} = Vsin\psi/(R+h) \\ w^g_{egz} = Vsin\psi tanL/(R+h)$

2.3、地理坐标系相对于惯性坐标系的转动角速度

地理坐标系相对惯性坐标系随载体相对地球坐标系的位置的变化而变化

投影至g系

$w^g_{ig} = w^g_{ie} + w^g_{eg} = \begin{pmatrix} -V_N/(R+h) \\ w_{ie}cosL + V_E/(R+h) \\ w_{ie}sinL + V_EtanL/(R+h) \end{pmatrix}$

三、常用坐标系间的变换矩阵

3.1、方向余弦矩阵

假设存在两个坐标系：a系和b系，则两个坐标系各轴间的9各方向余弦如下表所示。


$c_{11} = cos(x_1,x_0)$	$c_{12} = cos(x_1,y_0)$	$c_{13} = cos(x_1,z_0)$
$c_{21} = cos(y_1,x_0)$	$c_{22} = cos(y_1,y_0)$	$c_{23} = cos(y_1,z_0)$
$c_{31} = cos(z_1,x_0)$	$c_{32} = cos(z_1,y_0)$	$c_{33} = cos(z_1,z_0)$

从a系到b系的方向余弦转换矩阵为：

$c^b_a = \begin{bmatrix} c_{11} & c_{12} & c_{13} \\ c_{21} & c_{22} & c_{23} \\ c_{31} & c_{32} & c_{33} \end{bmatrix}$

$c^a_b = \begin{bmatrix} c^b_a \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} c^b_a \end{bmatrix}^{T}$

3.2、地心惯性坐标系和地球坐标系之间的变换矩阵

地球坐标系和地心惯性坐标系之间的转动是由地球自转引起的，从导航开始时刻，地球坐标系绕z轴转过 $w_{ie}t$ 。

$c^e_i = \begin{bmatrix} cosw_{ie}t & sinw_{ie}t & 0 \\ -sinw_{ie}t & cosw_{ie}t & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

3.3、地理坐标系和地球坐标系之间的变换矩阵

地理坐标系原点经度为 $\lambda$ 纬度为L。

$c^g_e = \begin{bmatrix} -sin\lambda & cos\lambda & 0 \\ -sinLcos\lambda & -sinLsin\lambda & cosL \\ cosLcos\lambda & cosLsin\lambda & sinL \end{bmatrix}$

如果已知 c^g_e 也可以求得该点的经度 $\lambda$ 和纬度L。

$L = arctan(c_{33}/c_{23}) \\ \lambda = arctan(c_{22}/c_{21})$

3.4、载体坐标系与地理坐标系之间的变换

载体的航向角为 $\psi$ 俯仰角为 $\theta$ 横滚角为 $\gamma$

$c^b_g = \begin{bmatrix} cos\gamma & 0 & -sin\gamma \\ 0 & 1 & 0 \\ sin\gamma & 0 & cos\gamma \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & cos\theta & sin\theta \\ 0 & -sin\theta & cos\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} cos\psi & -sin\psi & 0 \\ sin\psi & cos\psi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \\ =\begin{bmatrix} cos\gamma cos\psi + sin\gamma sin\theta sin\psi & -cos\gamma sin\psi + sin\gamma sin\theta cos\psi & -sin\gamma cos\theta \\ cos\theta sin\psi & cos\theta cos\psi & sin\theta \\ sin\gamma cos\psi - cos\gamma sin\theta sin\psi & -sin\gamma cos\psi - cos\gamma sin\theta cos\psi & cos\gamma cos\theta \end{bmatrix}$

坐标变换顺序：先航向（Z轴）、再俯仰（X轴）、最后横滚（Y轴）

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