半导体的物理_半导体和超导体的区别[通俗易懂]

目前主流的都是硅，现在也逐渐由氮化镓，砷化镓，碳化硅等等这些材料，记住一个特点，它们都是半导体。
半导体具有许多独特的物理性质,这与半导体中电子的状态及其运动特点有密切关系。为了研究和利用半导体的这些物理性质,需要明白半导体单晶材料中的电子状态及其运动规律。
薛定谔方程（Schrödinger equation），又称薛定谔波动方程（Schrodinger wave equation），是由奥地利物理学家薛定谔提出的量子力学中的一个基本方程，也是量子力学的一个基本假定。

量子化与薛定谔方程

德罗伊波（1924）

一个多世纪前，当光的波动属性和粒子属性同时摆在人们面前的时候，物理学家们便开始寻找合适的数学语言，来描述这个当时颇为陌生的特性。尤其在1924年德布罗意提出所有物质都有波粒二象性之后，这个任务变得更加迫切。
物质波（德布罗意波）（matter wave）指物质在空间中某点某时刻可能出现的几率，其中概率的大小受波动规律的支配。比如一个电子，如果是自由电子，那么它的波函数就是行波，即是说它有可能出现在空间中任何一点，每点几率相等。如果被束缚在氢原子里，并且处于基态，那么它出现在空间任何一点都有可能，在波尔半径处几率最大。对于你自己也一样，你也有可能出现在月球上，和你坐在电脑前的几率相比，这是非常非常小的，以至于不可能看到这种情况。这些都是量子力学的基本概念，非常有趣。
也就是说，量子力学认为物质没有确定的位置，在不测量时，它出现在哪里都有可能，一旦测量就得到它的其中一个本征值即观测到的位置。对其它可观测量亦呈现出一种分布，观测时得到其中一个本征值，物质波于宏观尺度下表现为对几率波函数的期望值，不确定性失效可忽略不计。
量子力学里，不对易的力学量，比如位置和动量是不能同时测量的，因此不能得到一个物体准确的位置和动量 ，位置测量越准 ，动量越不准，这个叫不确定性原理。哲学认为，不可能被观测的值相当于不存在，因此，根据量子力学，不存在同时拥有准确的动量和位置的粒子。机械波是周期性的振动在媒质内的传播，电磁波是周期变化的电磁场的传播。物质波既不是机械波，也不是电磁波。在德布罗意提出物质波以后，人们曾经对它提出过各种各样的解释。到1926年，德国物理学家玻恩（1882～1970）提出了符合实验事实的后来为大家公认的统计解释：物质波在某一地方的强度跟在该处找到它所代表的粒子的几率成正比。按照玻恩的解释，物质波乃是一种几率波。德布罗意波的统计解释粒子在某处邻近出现的概率与该处波的强度成正比。

牛顿力学（矢量力学

牛顿力学( Newton’s Mechanics )是以牛顿运动定律为基础，在17世纪以后发展起来的。直接以牛顿运动定律为出发点来研究质点系统的运动，这就是牛顿力学。
艾萨克牛顿爵士试图使用惯性与力的概念描述所有物体的运动，所以他找寻出它们服从确定的守恒定律。在1687年，牛顿接着出版了他的自然哲学的数学原理论文。在这里牛顿开创了三个运动定律，到了今日还是描述力的方式。

拉格朗日力学（分析力学

参考：
拉格朗日方程

从零学分析力学（拉格朗日力学篇）
牛顿以相对性原理和伽利略变换为框架，提出了牛顿运动定律，发展出一门基础物理学科——牛顿力学，这是经典物理学史上最高的丰碑之一。
严格地说，牛顿力学是经典力学中的一部分。在牛顿之后，拉格朗日和哈密顿相继发展了新的经典力学体系，即拉格朗日力学和哈密顿力学。
牛顿力学着眼于力、动量等矢量，牛顿运动定律也是矢量形式，故牛顿力学又称为矢量力学。
拉格朗日力学和哈密顿力学则看重系统的能量等标量，通过变分原理建立系统的动力学方程，所以拉格朗日力学和哈密顿力学合称为分析力学。
在这一篇文章中，我将从牛顿力学引入，进而详细介绍拉格朗日力学的主线。
1）质点的达朗贝尔原理
在质点运动的任一瞬时,作用在一个质点上的主动力、约束力、虚拟的惯性力一在形式上组成平衡力系:。

2)拉格朗日方程

虚位移

广义坐标系的选择

拉格朗日方程的出世

我们现在研究由 n个质点组成的力学系统，且该系统存在q个约束力。对 n个自由质点来说，在三维空间需要 3n个坐标描述。
每一个约束力都对应一个约束方程，从前面的讨论中己知，每一个方程都意味着有一个坐标可以由其他坐标表述。所以，该力学系统的独立坐标个数为3n-q。

保守体系下完整系统的拉格朗日方程

   动能-势能=T-U

哈密顿-雅克比方程

参考：哈密顿原理

共轭物理量 (Conjugate variables)指在 量子力学 中其 算符 不 对易 的物理量。 它的概念来自于 哈密顿力学 ，其中共轭动量表述为 拉格朗日函数 对 广义速度 的偏微分。
在最优控制（以及随机控制、动态博弈等）里，也会出现类似的Hamilton-Jacobi方程。一开始包括实际应用中提出的问题是这样的：给定一个初始状态，在一定的限制下，如何达到目的状态同时使得消耗最小。这一般都可以化成解常微分方程的问题。但是数学家不是这样思考问题的：与其一个一个地解这个常微分方程，不如把所有的状态看作一个空间，每点作为初始状态时的最小消耗看作这个空间上的一个函数，然后这个函数必定满足某种类型的HJ方程。（这里有个很简单但很基本的原理：如果你最终的选择是最优的，则在这期间每一个中间步骤的选择都是最优的）然后通过HJ方程的解我们就可以重新构造出那个常微分方程的解（对任意的初始状态）。经典力学差不多也可以用这种观点看。实际上上面这个观点我怀疑是从庞家莱起源的：即从单个的常微分方程转变到对整个空间上的动力系统的研究。
在物理学里，哈密顿-雅可比方程 （Hamilton-Jacobi equation，HJE） 是经典力学的一种表述。哈密顿-雅可比方程、牛顿力学、拉格朗日力学、哈密顿力学，这几个表述是互相全等的。而哈密顿-雅可比方程在辨明守恒的物理量方面，特别有用处。有时候，虽然物理问题的本身无法完全解析，哈密顿-雅可比方程仍旧能够正确的辨明守恒的物理量。
哈密顿—雅可比方程（HJE）是经典哈密顿量一个正则变换，经过该变换得到的结果是一个一阶非线性偏微分方程，方程之解描述了系统的行为。与哈密顿运动方程的不同之处在于 HJE 是一个偏微分方程，每个变量对应于一个坐标，而哈密顿方程是一个一阶线性方程组，每两个方程对应于一个坐标。HJE 可以漂亮地解析一些重要问题，例如开普勒问题。
如何区分偏微分方程中线性、半线性、拟线性和非线性？
偏微分方程PDE,（partial differential equation)
常微分方程（ODE） 的时候我们更多是关于时间的导数。偏微分方程（partial differential equation) 则不仅仅是与时间相关，加上了与空间位置相关的一些信息。
当 ODE 满足 利普希茨连续（Lipschitz continuity），我们就可以有唯一解。但是 PDE 我们可能并没有这样好的性质，我们不知道它是否应该有解，很多时候也许我们就是用有限元方法（finite element method）来模拟，如果看到的结果还不错的话，我们就当这个就是它的解

梯度

我喜欢将向量场想象为流动着的液体，这些液体在某一点的流速就是对应的箭头，这些液体当然不一定需要遵守物理规律，它们可以凭空出现或者消失，也可以随意的变换运动的方向。梯度某种意义上就是一种液体在不同方向的流速的表征。
参考：梯度、散度、旋度
沿着梯度方向走，函数值增大。沿着相反于梯度的方向走，函数值减小。垂直于梯度方向，函数值不变

线性代数：四、向量的内积与内积空间

旋度&散度

参考：梯度、散度、旋度
实际生活中有许多向量场：电场、磁场、重力场、速度场。
我喜欢将向量场想象为流动着的液体，这些液体在某一点的流速就是对应的箭头，这些液体当然不一定需要遵守物理规律，它们可以凭空出现或者消失，也可以随意的变换运动的方向。
那么这样会有两个相关的问题产生：
这些液体只是在空间中运动，空间中某点会流出液体么？（就像喷泉那样⛲️）或者这些液体会流入（像地上有个洞 ，液体会从这里流走）？
这些液体会在空间中旋转么？就像所谓的湍流或者龙卷风 那样？
这两个问题我们都可以通过分析向量场而知道，从而引出了散度和旋度的概念：

散度
像上面提到的，散度这个是用来表明空间中的这个点是否产生液体，其实也就是来看在此点处向内的箭头比较多还是向外的箭头比较多，我们现在来推导散度的表达式。
旋度
旋度是给我们一个向量场，我们得到的是一个向量，代表的是这一点的旋转情况。

HJE-（哈密顿-雅克比方程

HJE 是唯一能够将粒子运动表达为波动的一种力学表述。因此，HJE 满足了一个长久以来理论物理的研究目标（早至 18 世纪，约翰·伯努利和他的学生皮埃尔·莫佩尔蒂的年代）；那就是，寻找波传播与粒子运动的相似之处。力学系统的波动方程与薛定谔方程很相似；但并不相同。稍后会有详细说明。HJE 被认为是从经典力学进入量子力学最近的门阶。

薛定谔方程(1925

1925年，海森堡、玻恩等人在研究氦原子能谱时，将能级跃迁过程与矩阵联系起来，发明了矩阵力学。至于如何把波的形式纳入其中，就只好求助于傅里叶分解。同年晚些时候，薛定谔从波动性出发，受到经典力学中哈密顿-雅克比方程的启发，写出了薛定谔方程。。
半年后，薛定谔又证明了矩阵力学和波函数方程两种形式完全等价。
薛定谔方程的有趣之处在于，从看似连续的外表下，竟然可以解出离散的能谱。比起矩阵力学，薛定谔方程这种微分方程形式更为当时的物理学家所熟悉，而且与传统理论力学中的各类方程联系也更直接，于是便成了公认的通往量子理论殿堂的大门。

单电子近似

半导体单晶材料和其它固态晶体一样,是由大量原子周期性重复排列而成,而每个原子又包含原子核和许多电子。如果能够写出半导体中所有相互作用着的原子核和电子系统的薛定谔方程,并求出其解,便可以了解半导体的许多物理性质。
但是,这是一个非常复杂的多体问题,不可能求出其严格解,只能用近似的处理方法-单电子近似来研究固态晶体中电子的能量状态。所谓单电子近似,即假设每个电子是在周期性排列且固定不动的原子核势场及其它电子的平均势场中运动。该势场是具有与晶格同周期的周期性势场:用单电子近似法研究晶体中电子状态的理论称为能带论。有关能带论的内容在固体物理学课程中已经比较完整地介绍过了,这里仅作简要回顾,并介绍几种重要半导体材料的能带结构。

半导体的晶格结构和结合性质

这四个原子分别处在正四面体的顶角上,任一顶角上的原子和中心原子各贡献一个价电子为该两个原子所共有,共有的电子在两个原子之间形成较大的电子云密度,通过它们对原子实的引力把两个原子结合在一起,这就是共价键。这样,每个原子和周围四个原子组成四个共价键。上述四面体四个顶角原子又可以各通过四个共价键组成四个正四面体。

在四面体结构的共价晶体中,四个共价键并不是以孤立原子的电子波函数为基础形,成的,而是以s态和力态波函数的线性组合为基础,构成了所谓“杂化轨道“,即以一个s态和3个p态组成的sp³杂化轨道为基础形成的,它们之间具有相同的夹角109°28′。

一个原子中的几个原子轨道经过再分配而组成的互相等同的轨道。原子在化合成分子的过程中，根据原子的成键要求，在周围原子影响下，将原有的原子轨道进一步线性组合成新的原子轨道。这种在一个原子中不同原子轨道的线性组合，称为原子轨道的杂化。杂化后的原子轨道称为杂化轨道。杂化时，轨道的数目不变，轨道在空间的分布方向和分布情况发生改变。组合所得的杂化轨道一般均和其他原子形成较强的σ键或安排孤对电子，而不会以空的杂化轨道的形式存在。在某个原子的几个杂化轨道中，全部由成单电子的轨道参与的杂化，称为等性杂化轨道；有孤对电子参与的杂化，称为不等性杂化轨道。

杂化轨道理论（1931）

杂化轨道理论（Hybrid Orbital Theory）是1931年由鲍林（Pauling L）等人在价键理论的基础上提出，它实质上仍属于现代价键理论，但是它在成键能力、分子的空间构型等方面丰富和发展了现代价键理论。
基本要点:在形成分子时,由于原子的相互影响,若干不同类型能量相近的原子轨道混合起来,重新组合成一组新轨道。这种轨道重新组合的过程叫做杂化,所形成的新轨道就称为杂化轨道。杂化前后轨道数目不变。杂化后轨道伸展方向,形状发生改变。
杂化前后轨道数目不变。杂化后轨道伸展方向,形状发生改变。
在成键的过程中，由于原子间的相互影响，同一分子中几个能量相近的不同类型的原子轨道（即波函数），可以进行线性组合，重新分配能量和确定空间方向，组成数目相等的新原子轨道，这种轨道重新组合的方式称为杂化（Hybridization），杂化后形成的新轨道称为杂化轨道（Hybrid Orbital）。
按参加杂化的原子轨道种类，轨道杂化有sp和spd两种主要类型，分为sp，sp²，sp³，dsp²，sp³d，sp³d²，d²sp³，按杂化后形成的几个杂化轨道的能量是否相同，轨道的杂化可分为等性和不等性杂化。
s、p、d等等本来都是代指电子轨道的角量子数，在这里它代表库伯对的角量子数。在超导体中，电子通过某种机理配成库伯对。每个库伯对由两个电子构成，可以粗糙理解成一个没有质量的杆两端连着两个小球，那么这个哑铃形状的东西的角动量，在量子化之后，就是分立的0, 1, 2…（单位是h），对应的是s、p、d波配对。这里面暗含了一个假设，就是系统是有完整的旋转对称性的，而在一般的晶体中这个对称性被下降到晶体的点群对称性。这种时候严格来说，应该是用点群的不可约表示来标注，有些人会忽略这一点。

sp型的三种杂化

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