埃特金逐步插值法_Hermite插值法例题求解

Aitken（埃特金）逐次插值法

判断离散数据$(x_i,y_i)(i=0,1,2,\cdots ,n)$的插值精度，既可以采用事后误差估计的方法，也可以在插值点x的附近选取部分数据进行插值，然后再增加一些插值节点进行插值。若两次的插值结果之差小于规定的误差，则可认为插值精度复合要求而停止。这种在插值计算精度不够时增加节点（插值多项式的次数一般不宜超过6~8次）以提高插值精度方法就是所谓的逐次插值法。

在上述情况中，运用Lagrange插值方法存在一个明显缺点，就是当插值节点发生变化和增加时，Lagrange插值公式中的所有基函数都得重新计算，即计算量大。由于插值节点发生变化和增加只是个别节点，因此只对发生变化和增加的结点进行计算以减小计算量十分重要。

Aitken逐次插值法就是一种可以灵活地增加插值节点数，在前面计算结果的基础上继续进行计算而不必重新开始计算的方法。可见，Aitken逐次插值法具有承袭性的特点。

先约定表示插值结果的符号，设在插值区间$[a,b]$上，有n+1个顺序排列的插值节点$x_0,\cdots ,x_k,\cdots ,x_n$，插值点为x。由前k个顺序排列的插值节点$x_0,x_1,\cdots ,x_{k-1}$构成的插值函数是x的k-1次多项式，可以用$f(x_0,\cdots ,x_{k-1};x_{k-1})$表示，简记为$f_{k-1}(x_{k-1})$。在上述k个插值节点$x_0,x_1,\cdots ,x_{k-1}$的后面，再顺序增加一个新插值节点$x_i(i\ge k)$，进行k次插值。其插值函数是x的k次多项式，用$f(x_0,\cdots ,x_{k-1};x_k)$表示，简记为$f_k(x_i)$，其中k表示插值次数，$x_k$为新增加的插值节点。在简记符号$f_k(x_i)$中，k个顺序排列插值节点$x_0,x_1,\cdots ,x_{k-1}$中的最后一个节点$x_{k-1}$，由$f_k(x_i)$下标k隐含地给出。

1. 一次插值（线性插值）

首先给出一个固定插值节点$x_0$及其函数值$f(x_0)$，再新增加一个节点$x_i(i\ge 1)$（自然同时也给出其函数值$f(x_i)$），用这两个插值节点进行线性插值，其结果为：
$$f_1(x_i)=\frac{x-x_i}{x_0-x_i}f(x_0)+\frac{x-x_0}{x_i-x_0}f(x_i)(i\ge 1)$$
若取$i=1$，则表示以$x_0,x_1$为节点进行一次插值，结果为：
$$f_1(x_1)=\frac{x-x_1}{x_0-x_1}f(x_0)+\frac{x-x_0}{x_1-x_0}f(x_1)$$
若取$i=2$，则表示以$x_0$和$x_2$为节点进行一次插值，结果为：
$$f_1(x_2)=\frac{x-x_2}{x_0-x_2}f(x_0)+\frac{x-x_0}{x_2-x_0}f(x_2)$$
由此可得出如下结论：$f_1(x_i)$表示取固定节点$x_0$和变化节点$x_i(i\ge 1)$及其相应的$f(x_0),f(x_1)$进行线性插值，得到关于x的一次多项式。

2. 二次插值

顺序给出两个插值节点$x_0,x_1$，再新增加一个节点$x_i(i\ge 2)$，用这3个插值节点进行插值，其结果为：
$$f_k(x_i)=\frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)}f(x_0)+\frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)}f(x_1)+\frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}f(x_2)$$
若取i=2，则表示以$x_0,x_1$和$x_2$为节点进行二次插值，其结果为：
$$f_2(x_2)=\frac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)}f(x_0)+\frac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)}f(x_1)+\frac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}f(x_2)$$
若取i=3，则表示以$x_0，x_1$和$x_3$为节点进行二次插值，其结果为：
$$f_2(x_3)=\frac{(x-x_1)(x-x_3)}{(x_0-x_1)(x_0-x_3)}f(x_0)+\frac{(x-x_0)(x-x_3)}{(x_1-x_0)(x_1-x_3)}f(x_1)+\frac{(x-x_0)(x-x_3)}{(x_3-x_0)(x_2-x_1)}f(x_3)$$
整理$f_2(x_2)$得：
$$f_2(x_2)=\frac{x-x_2}{x_1-x_2}{f}_1(x_1)+\frac{x-x_1}{x_2-x_1}{f}_1(x_2)$$
同理
$$f_2(x_i)=\frac{x-x_i}{x_1-x_i}{f}_1(x_1)+\frac{x-x_1}{x_i-x_1}{f}_1(x_i)$$
由此可得出如下结论：$f_2(x_i)$表示取固定节点$x_1$和变化节点$x_i(i\ge k)$及其相应的$f_1(x_1)，f_1(x_i)$进行线性插值，得到关于x的2次多项式。

3. k次插值

根据以上分析，可以推出如下结论：用两个$k-1$次插值的结果$f_{k-1}(x_{k-1})$和$f_{k-1}(x_i)$，进行线性插值，即可得到k次插值的结果$f_k(x_i)$。即：

$f_k(x_i)$表示固定节点$x_{k-1}$和变化节点$x_i(i\ge k)$及其相应的$f_{k-1}(x_{k-1}),f_{k-1}(x_i)$进行线性插值，从而得到关于x的k次多项式：
$$f_k(x_i)=\frac{x-x_i}{x_{k-1}-x_i}{f}_{k-1}(x_{k-1})+\frac{x-x_{k-1}}{x_i-x_{k-1}}{f}_{k-1}(x_i),(i\ge k)\text{\hspace{1em}(10)}$$
根据（10）式，可以计算出当$k=1,2,\cdots ,n(i=k,k+1,\cdots ,n)$时的$f_k(x_i)$，由于计算$f_k(x_i)$有很强的规律性，故将其排列成下表所示，该表称为Aitken插值表。从表中可以看出，$f_k(x_i)$是逐列计算出来的。这种足部提高插值次数以获得更高精度插值结果的插值方法称为Aitken逐次插值方法。

Aitken逐次插值法的特点是：

（1）将一个高次插值过程归结为线性插值的多次重复。

（2）插值表中的每个数据均为插值结果，从这些数据的一致程度可判断插值结果的精度，如果未达到精度要求，则在增加一个节点进行插值，直至满意为止。

今天的文章埃特金逐步插值法_Hermite插值法例题求解分享到此就结束了，感谢您的阅读。