空气动力学第三章_空气动力学原理[通俗易懂]

第五章 无黏可压缩流动

当马赫数（气流速度与声速之比）大于0.3时，就必须考虑气体的可压缩性。首先通过分析气体经过小扰动波的流动导出声速，并讨论马赫数在反映小扰动传播范围上的物理含义。对于可压缩流动，质量方程和动量方程还不能封闭求解，必须联立能量方程。本章从无黏的一维定常绝热流总焓方程出发，导出各种形式的能量方程，给出定常绝热流和等熵流中各流动参数沿流线的变化关系。在此基础上，研究几类最简单的绝热或等熵可压缩流动：超声速流动中的激波和膨胀波，气体沿变截面管道的流动

5.1 声速和马赫锥

本节通过对小扰动波应用质量和动量方程，导出小扰动波的传播速度与气流热力学参数的关系。进一步研究马赫数的含义，从马赫数为气流速度与小扰动传播速度之比的角度分析不容马赫数是扰动传播的特点。

5.1.1 声速计算式的导出

声音的传播通常看成有饶东元连续发出的扰动界面。三维空间中扰动面是球面，但在以球面形式传播的扰动面上，所有微小的微元面都可以近似看做平面，且与传播方向是垂直的。

1. 跨过声波的流动分析
   取地面坐标系，所观察到的流动就是非定常流动。如果将坐标系建立在声波上，则声波不动，波前气流以速度a从左向右流向声波。气流通过声波后进入受扰动区，气流速度较波前有微小变化。声波坐标系下，流动是定常的。
   气体经过声波前后的状态变化可认为是一个绝热过程，来不及与环境之间进行热交换。并且声波区域所有参数的梯度都很小——通过声波压力、温度、密度和速度的变化量都是无限小量，于是该过程中的耗散现象可以忽略不计。可见这是一个满足绝热和可逆（无耗散现象）的流动，也就是的等熵流动。
2. 声速与波前后压力密度变化的关系
   流动可视为一维流动。取一个包含声波在内的微小矩形控制体，应用积分形式的控制方程解决问题。定常、一维流动条件下，由积分形式的质量方程得ρaA=(ρ+dρ)(a+dv)A。
   式中，A为左右控制面的面积。略去高阶小量后，可得a=-ρdV/dρ。
   应用积分形式的动量方程，不计黏性力，略去彻体力，整理得a^2=dp/dρ。
   由于气流经过声波的流动过程是等熵的，上式可改写为：a^2=(dp/dρ)等熵=(dp/dρ)s，则a=sqrt((dp/dρ)s)。
   即为声音在气体中的传播速度的基本表达式，根据气体弹性模量的定义，可知表达式与物理学中给出的声速公式a=sqrt(Es/ρ)是一样的。
   特别，对于量热完全气体，其等熵关系式为p/ρ^γ=C或p=Cρ^γ。
   将上式对ρ求导，即得(∂p/∂ρ)s=Cγρ^γ-1=γCρ^γ-1=γp/ρ=γRT。
   从而量热完全气体的声速为a=sqrt(γRT)。

5.1.2 小扰动影响区的划分，马赫锥

飞行器在空气中飞行时，对周围空气产生扰动。如为微小扰动，则以声速有扰动源向各个方向传播。但扰动在飞行器运动空间的传播范围因飞行器的运动速度不同而变现出不同特点。下面通过一个微小扰动源（代表飞行器）的运动和从其上发出的声波的传播说我们会飞行器以不同速度飞行时扰动传播的不同情况。

1. 扰动源在静止空气中空气中运动时其小扰动的传播
   假设微小的扰动源每隔△t时间发出一次微小扰动，每次扰动所引起的压力等所有参数的变化都是极微小的，它们对声速的影响可以忽略不计。所以每次扰动都以相同的声速a向四周传播。
   1 . 当扰动源（以实心圆点表示）不动时，不同时刻发出的速度相同的小扰动波的波阵面为同心球面。在扰动源左方的观察者“只闻其声，不见其形”。
   2 . 当扰动源以速度V<a向做运动时，不同时刻发出的扰动波的起始位置（扰动源）依次左移，因此后发出的扰动波的球形波阵面往左偏移，这种情况下在扰动源左方的观察者是“先闻其声，后见其形”的。
   3 . 当扰动源以声速即V=a向左运动时，后一个扰动波的起始位置比其前一个的正好左移a△t，因此不同时刻发出的扰动波的球形波阵面在左面相切。扰动源也紧随扰动波，在扰动波左方的观察者是同时“闻其声，观其形”的。
   4 . 当扰动源以速度V>a向左运动时，后发出的扰动波的起始位置向左的偏移超过了前一个扰动波向左的波阵面，后发出的波在向左方向都走了先发出的波前面，而扰动源自己走在扰动波左方。在扰动源左方的观察者是“先观其形，后闻其声”的。
2. 固定扰动源的扰动在直匀气流中的传播
   研究流动问题时常将坐标系建立在飞行器上，把飞行器在静止大气中的匀速飞行转换为均匀气流以大小相同而方向相反的速度从远处向固定的飞行器流来。不同气流速度下，飞行器（固定的扰动源）发出的扰动在气流中的传播表现出不同特点。、设想O点有一个固定扰动源，在静止气体中产生的每个小扰动都以声速向各个方向传播。如果气流是运动的，则扰动的传播速度是其在静止气体中的传播速度与气流速度的叠加。如果来流速度为V∞，则自扰动源发出的小扰动传播的绝对速度就是V∞+aer，er为从扰动源出发的径向单位矢量。小扰动在气流中的传播的范围与气流速度和声速之比（即马赫数Ma）有密切关系。
   1 . 气流静止时：t=0时刻扰源发出的扰动波在△t、2△t和3△t时刻的波阵面构成同心球面。足够长时间后，扰动会波及全流场。
   2 . 压声速流动时：t=0时刻由O点发出的扰动，经△t时间，其波阵面将到达以O1点为中心、a△t为半径的球面上，在2△t时刻，这个波阵面又将传播到以O2点为中心、2a△t为半径的球面，依此类推。由于V∞<a，因此t=0时刻发出的扰动在不同时刻的波阵面是一组对绕流O偏心的球面。O点产生的小扰动仍能传遍全流场，不过在逆流方向传得慢，顺流的方向传得快。
   3 . 声速流动时：由于V∞=a，因而OO1=V∞△t，即不同时刻的波阵面构成一组在扰动源O点具有公切线的球面。所以由O点发出的小扰动，在任何时刻都不能超过x=0的平面，只局限在x≥0的半个空间（扰动源的下流）传播。
   4 . 超声波流动时：在t=0时刻发出的微小扰动，在△t、2△t、3△t时刻，其波阵面分别为以O1、O2和O3点为中心的球面，因为OO1>a△t、OO2>2a△t、OO3>3a△t，因此扰动源将始终位于这些球面外，在它们的上游。或者说，扰动波阵面始终在扰动源的下游。
3. 马赫锥
   超声速流动中，扰源在某一时刻发出的小扰动在不同时刻的波阵面（球面）形成了圆锥状的包络面。或者说，扰源在不同时刻发出扰动的波阵面在某一时刻形成了圆锥状的包络面。该包络面的顶点在扰动源，以来流速度方向为中轴线，其半顶角η满足方程：sinη=a/V=1/Ma，η=arcsin(a/V)=arcsin(1/Ma)。
   通常称η为马赫角，称这个圆锥状的包络面为马赫锥，而把锥面的母线称为马和县。可见超声速气流中，小扰动的传播区域局限在以扰动源为顶点，以气流速度方向为轴线的后马赫锥内。
   马赫数越小，马赫角η越小，η的最大值为π/2，对应于马赫数Ma=1。当Ma<1时，就不存在马赫角的概念了。所以说马赫角、马赫锥、马赫线都只存在于超声速流场。超声速流动中的小扰动波也称为马赫波。气流经过马赫波后，p、ρ、T若增加，也称为弱压缩波（气流速度V减小）；p、ρ、T若减小，也可称为膨胀波（V增加）。
4. 影响域和依赖域
   从上面对不同速度气流中扰动的传播特点分析得知，亚声速流场中某点的扰动能传遍各处，而超声速流场中小扰动的传播却只局限于以扰动源为顶点的后向马赫锥中。这一物理现象的根本区别也是亚声速流和超声速流控制方程的数学性质不同的体现。
   偏微分方程的数学类型可分为椭圆型、抛物型和双曲型。三种类型的方程其解的依赖域和影响域不同。方程解的影响域在物理上就是扰动的传播区域，描述流场中某点P扰动波及的范围。依赖域则是描述能够影响某点P的区域。椭圆型方程的影响域和依赖域均为全流场；对抛物型方程，某点P的影响只涉及其下游的半无限区域，某点的依赖域则是其上游的半无限区域；而对双曲型方程，P点的影响域是由过P点的特征线所围的“下游”区域，依赖域则是由特征线所围的“上游”区域。
   根据亚声速和超声速流动中扰动传播范围可知，亚声速流动的影响域和依赖域均为全场，超声速流动的影响域和依赖域则都是有限的。这种本质差别在数学上表现为：定常的欧拉方程组在亚声速流动时属于椭圆型方程，而在超声速流动中则属于双曲型方程。对超声速流动，对某点，除了上述表征扰动传播区域（影响域）的马赫锥（又称后向马赫锥）外，也常以某点为顶点、马赫角为半锥角，逆流动方向向前做圆锥，该锥称为前向马赫锥，表征该点的依赖域。

5.2 绝热流和等熵流的基本关系

本章限于讨论一维流动（或者说沿流线的流动）和准一维流动，并且只研究绝热流动和更特别的等熵流动。在一维定常绝热流总焓方程的基础上，再应用热力学关系式（完全气体状态方程，焓、内能与温度的关系，声速与温度的关系），写出其他形式的绝热流能量方程，给出各参数沿流线的变化关系；特别地，对等熵流，利用等熵关系式（等熵条件下温度、密度和压强的关系），得到等熵流动中压力、温度、密度与马赫数的关系，这些称为等熵流的基本关系。
在不可压流动中，伯努利方程格外重要，它给出了速度和压强的关系。本节对可压缩的等熵或绝热流导出的基本关系在可压缩流动中的重要性可以和伯努利方程在不可压流动中的重要性相比拟。

5.2.1 一维定常绝热流能量方程及其特征常数

1. 能量方程的各种形式
   第3章已给出了微分形式的理想无黏流总焓方程。当流动绝热、定常（从而q·=0、∂p/∂t=0），且不计彻体力时，总焓方程成为ρD(h+V^2/2)/Dt。
   这说明对定常绝热流动，流体质点或微团在流动过程中（沿迹线）其总焓不变。因为是定常流，流线和迹线重合，所以说明流线总焓不变。也就是说，定常无黏绝热流动中，流线上任意两点的总焓相等，等于一常数：h1+V1^2/2=h2+V2^2/2=h+V^2/2=const。
   第三章中已经给出了积分形式的能量方程，方程适用于在流体控制面上黏性力做功可以忽略的流动。特别，对于一维定常绝热流动，并且不考虑彻体力做功Wf·和流体对固体物质的做功Ws·时，积分形式的能量方程成为：-(h1+V1^2/2)ρ1V1dA+(h2+V2^2/2)ρ2V2dA=0。
   式中，dA为垂直于流速的流管横截面积，对一维流动，下标1和2分别代表入口和出口控制面上参数值。又由质量守恒可知一维定常流中：ρ1V1dA=ρ2V2dA。
   所以一维定常绝热流动积分形式的能量方程可进一步写为h1+V1^2=h2+V2^2。
   可见该方程与沿流线成立的总焓方程形式相同，但总焓方程适用于无黏绝热流动，沿流线上各点都成立；移位顶红吃那个绝热流动积分形式的能量方程应用范围更大，只要求流管入口和出口两截面处满足理想无黏绝热连续流条件，两截面之间可以存在间断和黏性损耗。
   上述总焓形式的能量方程可以写成不同的形式，对于量热完全气体，有h=cpT=γ/γ-1·RT=a^2/γ-1=γ/γ-1·p/ρ。
   上面用到了热完全气体的声速公式a=sqrt(γRT)。于是能量方程可以由以下几种形式：
   cpT+V^2/2=const。
   γ/γ-1RT+V^2/2=const。
   a^2/γ-1+V^2/2=const。
   γ/γ-1·p/ρ+V^2/2=const。
   它们描述了一维定常绝热运动中流体质点的速度变化与温度、当地声速等参数变化的关系。
2. 能量方程的特征常数
   上面各种形式的能量方程右边的常数就是单位质量气体的总焓，是静焓与动能之和。该常数常用某个参考状态的物理量来表示，这些参考状态的物理量就称为特征常数。常用的参考状态有三种：1. 速度为零的滞止状态（参数下标用“0”表示）；2. 温度达到绝对零度是的最大速度（Vmax）状态；3. 流速等于当地声速时的临界状态（参数上标用“”表示）。气体一维定常流动中的任何一个状态都可以假想地通过绝热等熵的过程转变为对应的参考状态，用这些特征常数来表征该状态下气流的总焓，不管实际流动过程是否绝热等熵。
   1 . 滞止参数
   假定一个定常流动，流体质点（微团）在流动过程中绝热地减速到速度为零，且过程中无不可逆现象发生，也就是说流动是绝热等熵滞止到速度为零的。这时气流参数称为滞止参数，或称驻点参数，用下标“0”表示。在物理上对应：风洞储气罐的气体参数或理想无黏流动时驻点的气体参数。有h+V^2/2=h0=cpT0=γ/γ-1·RT0=a0^2/γ-1=γ/γ-1·p0/ρ0。
   式中，h0、T0、p0、ρ0分别称为总焓、总温、总压和总密度或滞止焓、滞止温度、滞止压力和滞止密度，以区别静焓h、静温T、静压p和密度ρ。a0称为驻点声速。“静”的含义指站在与气体质点一起运动的坐标系上，相对于气体是静止地在观测参数，相对于气体是在静止地观测参数。静压是仅仅考虑气体分子随机运动产生的压力贡献，静温表征的就是分子随机运动的能量。
   气体静焓是内能e与p/ρ之和，p/ρ可看作单位质量气体具有的压力能，p/ρ越大，气体能通过压力做功的能力越大。因此运动气体的总焓以及静焓与动能之和，可以看做包含压力能在内的气流的总能量一维定常绝热流动不同形式的能量方程中右端的常数旗帜指的都是气流总焓，也就是气流的总能量。能量方程描述了不同形式的气流能量（内能、动能和压力能）转换的数量关系，转换过程中总能量是守恒的。
   可以用滞止参数表征上面各种形式能量方程中的常数（总焓），尽管所研究的实际流动中可以不出现流速为零的状态。采用滞止参数表示的一维定常绝热流动的能量方程为：
   cpT+v^2/2=CpT0。
   γ/γ-1RT+V^2/2=γ/γRT0。
   a^2/γ-1+V^2/2=a0^2/γ-1。
   γ/γ-1p/ρ+V^2/2=γ/γ-1p0/ρ0。
   可见h0、T0、p0/ρ0、a0的大小均可反映气流总能量的大小。
   2 . 最大速度
   设想气流加速到极限情况，速度达到最大值，此时h=0、T=0、V=Vmax，即h+V^2/2=Vmax^2/2=h0
   可见用Vmax也可1表征气流总能量的大小，Vmax和滞止参数之间的关系为Vmax=sqrt(2h0)=sqrt(2cpT0)=sqrt(2γ/γ-1·RT0)=sqrt(2/γ-1)a0。
   对于空气，γ=1.4，设T0=15℃，则Vmax=757m/s。
   其实最大速度Vmax不存在，因为对应的物理状态为真空，分子的微观运动已停止。这也说明气流各种形式的能量品质是不同的，动能可以完全转化为静焓（内能与压力能之和）。能量方程只是给出了气体能量的大小，未能描述能量的品质。
   3 . 临界参数
   设想流线上某点气流的速度等于当地声速，V=a=a，这里a称为临界声速。这时气流的所有参数称为临界参数。能量方程中的常数值可以表示为a^2/γ-1+V^2/2=a*^2/γ-1+a*^2/2=γ+1/γ-1·a*^2/2。
   类似，也可以采用T和p*/ρ*表示能量方程中的常数，得到其他形式的能量方程。
   4 . 速度与声速变化曲线
   若将表达为速度与声速关系的能量方程中常数采用最大速度或驻点声速表达，则V^2/2+a^2/γ-1=Vmax^2/2=a0^2/γ-1。可整理为V^2/Vmax^2=a^2/A0^2=1。
   可见声速与速度的关系可表示为V-a平面上的第一象限的四分之一椭圆周线。当速度从零增加到最大值Vmax时，声速从驻点声速（最大值）减小到零。射线V=a与椭圆周线的交点为临界点。
   上述特征参数反映了气流总能量的大小。在定常绝热流动中，沿流线它们都保持不变。特征参数与静参数的关系对任意流动都使用，只是非绝热流动中它们可能使变化的，不再保持为常数。
3. 绝热不可逆过程中的特征常数
   上面通过家乡的绝热等熵过程，让流动达到三种参考状态（滞止、最大速度、临界状态），得到三种参考状态的气流参数，作为特征常数来表征能量方程中的常数，即气流的总焓。其实一维定常绝热流动的能量方程及其在量热完全气体情况下的其他形式都是可以用于不可逆过程的，即流管的截面1和2之间可以发生摩擦损失。只要在截面1、2处满足理想无黏绝热连续流条件，两截面上述特征常数必然相等，即h01=h02，T01=T02，a01=a02，a1*=a2*，Vmax1=Vamx2，又有p01/ρ01=p02/ρ02。
   但是，尽管总压与总密度的比值在发生摩擦损失前后不变，但总压或总密度都各自发生了变化。可以通过绝热不可逆过程中熵的变化分析这个问题。根据量热完全气体熵的计算式，有s2-s1=cpInT2/T1-RInp2/p1。
   可以将截面1、2处的状态分别通过绝热过程转换到相应的滞止状态。因为s1=s01，s2=s02，所以有s2-s1=cpInT2/T1-RInp2/p1。
   摩擦损失会带来不可逆熵增，因此绝热流动中在截面1、2之间存在不可逆过程时，必定有s2-s1>0。T02=T01，由s2-s1=s02-s01=-RInp02/p01>0，知p01>p02且ρ01>ρ02。
   这说明，在绝热不可逆过程中，熵的增加和总压下降是联系在一起的，存在摩擦损失时部分机械能转化为热能，即机械能的可利用率降低。因此总压之比可以作为描述机械能可利用率的一个指标，在工程上称为总压回复系数：σp=p02/p01≤1。利用σp衡量过程的不可逆程度，可能比抽象的熵增更易理解。
   上面已知知道气流的总焓给出了包含压力能在内的气流的总能量大小，但并未区分各种不同形式能量的品质。因此，在定常绝热流动中，不管流动中是否存在摩擦损失等不可逆过程，气流的总焓沿流线不变，相应地，表征气流总能量的其他参数沿流线都保持不变。从这里关于可逆和不可逆过程中总压变化的讨论则说明，气流的总压能够反映能量的品质。因此在定常绝热等熵流中，除气流的总焓等沿流线保持不变外，气流二等总压和总密度也保持不变。而绝热不可逆流动中，总压、总密度沿流线下降，对应着机械能可利用率的降低。

5.2.2 特征马赫数

马赫数Ma是表达速度相当于当地声速大小的一个非常重要的无量纲数，是一个常用的无量纲速率。马赫数的平方Ma^2可反映气流宏观动能与内能的比较。这里再引入另外一个无量纲速率——特征马赫数。特征马赫数用统一的标尺对各点速度进行无量纲化，它定义为速度与临界声速之比：Ma*=V/a*。
由于临界声速的平方可反映气流总焓的大小，因此特征马赫数的平方Ma*^2可反映气流宏观动能与气流总能量的比较。
下面导出特征马赫数Ma与马赫数Ma之间的关系。将采用临界声速表达特征常数的能量方程两边同除以a^2/2，得2/γ-1·a^2/a*^2+V^2/a*^2=γ+1/γ-1。
即2/γ-1·Ma*^2/Ma^2+Ma*^2=γ+1/γ-1。
可解得Ma*^2=(γ+1/2·Ma^2)/(1+γ-1/2·Ma^2)或Ma^2=Ma*^2/[1-γ-1/2·(Ma*^2-1)]。
根据上式，可知马赫数和特征马赫数之间的关系，如下表所示：

由上表可以得出以下结论。
亚声速区：Ma<Ma*<1
超声速区：Ma>Ma*>1
可见，若大于或小于1的变化趋势来衡量，特征马赫数Ma*与马赫数Ma的表现形式是类似的，但在当地马赫数趋于无穷大时，特征马赫数趋于有限值。

5.2.3 沿流线的绝热流和等熵流的基本关系式

对绝热流动根据一维定常绝热的能量方程，对绝热等熵流动再联立第一章的等熵关系式，导出沿流线的各参数与当地马赫数Ma或特征马赫数Ma*的关系。

1. 绝热流基本关系式
   γ/γ-1RT+V^2/2=γ/γRT0是采用总温表达特征常数的量热完全气体的绝热能量方程，在该式两端同除γRT/(γ-1)，并应用声速公式，得到T0/T=1+(γ-1)V^2/2γRT=1+γ-1/2·V^2/a^2=1+γ-1/2·Ma^2
   又根据Ma与特征马赫数Ma*的关系式得T/T0=(1+γ-1/2·Ma^2)^-1=1-γ-1/γ+1·Ma*^2
   上式可以说是采用马赫数（或特征马赫数）表达的一维定常绝热流动的能量方程，表明通过马赫数、比热容比可唯一地确定总温与静温之比。根据它也可得出绝热流动中流线上两点（或流管两截面1）温度间的关系，即T2/T1=(1+γ-1/2·Ma1^2)/(1+γ-1/2·Ma^2)=(1-γ-1/γ+1·Ma2*^2)/(1-γ-1/γ+1·Ma1*^2)。
2. 绝热等熵流基本关系式
   对绝热且可逆的等熵流，根据等熵关系式：p/p0=(ρ/ρ0)^γ=(T/T0)^γ/γ-1。
   和上面的总温与静温关系式可得：p/p0=(1+γ-1/2·Ma^2)^-γ/γ-1=(1-γ-1/γ+1·Ma*^2)^γ/γ-1，ρ/ρ0=(1+γ-1/2·Ma^2)^-γ/γ-1=(1-γ-1/γ+1·Ma*^2)^γ/γ-1。
   可见绝热等熵流动中，马赫数和比热容比不仅可以唯一确定总温与静温之比，还可唯一确定总压与静压之比、总密度与密度之比。
   上式合称沿流线的等熵流基本关系式。通过它们可以由流场中任一点已知的参数确定总参数、以及总参数与静参数的比值。之后又可根据流线上其他点的Ma（或V）得出对应的静参数，反之亦然。
   由上式得出绝热等熵过程中两点压强间的关系和密度间的关系：
   p2/p1=((1+γ-1/2·Ma1^2)/(1+γ-1/2·Ma2^2))^γ/γ-1=((1-γ-1/γ+1·Ma2*^2)/(1-γ-1/γ+1·Ma1*^2))^γ/γ-1，ρ2/ρ1=((1+γ-1/2·Ma1^2)/(1+γ-1/2·Ma2^2))^1/γ-1=((1-γ-1/γ+1·Ma2*^2)/(1-γ-1/γ+1·Ma1*^2))^1/γ-1。
   从上述等熵流基本关系式可以看出，速度增大、动能增加后，静焓、静温、静压、密度均下降，但各参数下降的速率不同。对等熵关系式取对数后微分，得dp/p=γ·dρ/ρ=γ/γ-1·dT/T。
   可见相对变化速率从大到小依次是：p，ρ，T。
3. 临界参数与驻点参数的关系
   上式中令Ma=1(或Ma*=1)，就可以得到临界参数与总参数之比：
   T*/T0=2/γ+1。
   p*/p0=(2/γ+1)^γ/γ-1。
   ρ*/ρ0=(2/γ+1)^1/γ-1。
   特别，对于空气，γ=1.4，有T*/T0=0.8333，p*/p0=0.5283，ρ*/ρ0=0.6339。

5.2.4 气体压缩性的影响

根据等熵流的总压与静压之比、总密度与密度之比，可以定量分析气体流动过程中速度变化引起的压力变化和带来的密度变化。
对于低亚声速、小马赫流动，ρ/ρ0的变化曲线相对平缓。特别在Ma<0.32时，密度与总密度相差较小，这一马赫数范围内的实际问题都可看做不可压流动。当Ma>0.32后，密度相对变化较大，且变化幅度随，马赫数的增大而增大。所以，一般情况下，对Ma>0.3的流动问题应考虑可压缩性。
另外，根据等熵关系式已知绝热等熵流动中密度相对变化与压力相对变化的关系，又根据定常流沿流线的欧拉方程得dp=-ρVdV。
联立上式，并应用声速公式a=sqrt(γRT)，可得dρ/ρ=-Ma^2·dV/V。
即密度相对减小率为速度的相对增大率乘以马赫数的平方。也可用该式来评估密度的变化。

5.3 正激波

激波是由强扰动产生的波，是超声速气流中存在的一种流动间断现象。气流越过它时参数产生突跃，伴随机械能损失，属于不可逆过程。
激波的一般形式是非定常的曲线激波。正激波是一维情况。所谓正激波就是激波面与气流方向垂直。曲线激波的中段就属于正激波情况，在喷管中也可观察到接近正激波的波系。

5.3.1 激波的形成过程简述

分别以活塞在直管中产生压缩波的叠加过程和飞行器产生的强扰动波传播来简要分析激波的形成过程。

1. 活塞产生压缩波的叠加过程
   活塞在极短时间内增速，气体压力提高。可将过程分为无数个小扰动的叠加，每个小扰动以波速等于当地声速的压缩波向右传播。在活塞作绝热压缩的条件下，后面的压缩波比前面的压缩波传播更快，因为后面的温度高，当地声速大。于是后面的压缩波不断赶上前面的波，最后压缩波叠加成一道正激波，使气体参数在很窄的区域内发生急剧变化。激波以速度Vs右行，激波扫过以后的区域，压力、温度和密度均上升，流体微团亦产生一个同向速度V，但V远小于Vs。活塞必须以V前进才能维持激波以Vs前进，否则活塞与气体之间产生真空。
   若活塞向左加速到V值，右方产生一系列膨胀波，膨胀波是不会聚集的，因为膨胀后气流压力、温度和密度均降低，后面的波速小于前面的波速，波阵面越来越平缓。
   激波在直管中右行，激波右方为激波前方，气流静止，参数未受扰动；激波左方是激波后方，气流有运动，参数受过扰动，与激波前方相比参数是有突跃的。在激波传播速度不变的情况下，转换到激波坐标系下来考虑问题，则是波前气流以超声速Vs（左方气流的当地声速大于右方未受扰动气流的当地声速）流向激波，跨过激波后，气流参数发生突跃变化：速度下降，温度、压力、密度升高。
2. 飞行器前方激波的产生
   当气体以超声速运动时，扰动来不及传播，前方的气体微团没有事先准备，要等到物体冲到跟前才受压缩，会造成大块的气体被压缩。
   将物体在静止气体中的匀速运动转化为物体不动、直匀气流向静止的物体流来。碰撞到物体表面的气体分子会产生动量变化（扰动），该扰动通过分子随机运动向其他相邻分子传播。如果上游气流是超声速的，扰动不能向上游传播，而是在离开物体某一距离处聚集并结合，形成以正激波。

5.3.2 激波的厚度及激波的数学模型

实际流动中，激波并非一个零厚度的几何间断面，而是一个很薄的过渡层，厚度与气体分子的平均自由程同数量级。
速度等参数在激波内部都是连续变化的。激波的厚度并没有明确的界限，一般在V对x曲线的拐点处画曲线的切线，将此切线，将此切线与V1=const和V2=const量直线交点之间的x向距离定义为激波厚度。
当马赫数较大时，激波厚度就只有几个分子平均自由程。工程计算中将其看做强间断面来处理。由于激波内部的速度梯度和温度梯度都很大，通过激波时气体的黏性和热传导必然发生作用。因此通过激波的过程是不可逆过程。

5.3.3 研究正激波前后气流关系的基本方程

研究定常的正激波，设定激波静止。对于强度和传播速度不变的一维运动激波，可以通过变换到激波坐标系，转成驻正激波来研究。
由于激波是间断面，必须采用积分形式的基本方程。取一个包括正激波在内的控制体，气流只有一个方向的速度，记为V。分别用下标1、2表示波前和波后参数。跨过激波的流动有以下特点：

1. 流动定常。
2. 流动绝热。
   气体穿越激波时控制体没有从外界吸热，跨过激波气体温度的升高不是因为有外加热，而是因为气体的部分动能转变为了内能。
3. 在控制体边界上没有黏性作用。
   采用积分形式的控制方程后，不必考虑内部具体细节。
4. 可略去彻体力。
   将第三章得到的积分形式的质量方程、动量方程和能量方程应用于上述包含一维正激波的控制体，并注意到上面分析的激波流动特点，可得到如下基本方程：
   质量方程：ρ1V1=ρ2V2=ms·。
   动量方程：ρ2V2^2-ρ1V1^2=p1-p2。
   能量方程：h1+V1^2/2=h2+V2^2/2。
   热完全气体状态方程：p=ρRT。
   对量热完全气体，有h=cpT=γ/γ-1·p/ρ。
   连续方程中的ms·为单位面积的质量流量。这里的能量方程与一维定常绝热流动的能量方程相等。
   当激波较强，激波后的温度较高。

5.3.4 正激波前后的参数关系

1. 正激波前后的压力比和密度比关系
   改写动量方程，并应用质量方程，得p2-p1=ms·^2(1/ρ1-1/ρ2)。
   该式表明，气流越过间断面时的压力增加必然引起速度的减小和密度的增加。再将能量方程改写为h1+ms·^2/2ρ1^2=h2+ms·^2/2ρ2^2。
   合并上式，得h1-h2+1/2·（V1/ρ1+1/ρ2）(p2-p1)。
   这就是激波前后热力学参数的关系式，它同样适用于非量热完全气体情况。
   特别，对于量热完全气体，代入h的表达式，可得p2/p1=(γ+1/γ-1·ρ2/ρ1-1)/(γ+1/γ-1-ρ2/ρ1)或ρ2/ρ1=(γ+1/γ-1·p2/p1+1)/(γ+1/γ-1+p2/p1)。
   上述关系称为兰金-雨贡纽关系（R-H关系），根据其绘制的曲线称为激波绝热线。
   等熵绝热线：p2/p1=(ρ2/ρ1)^γ。当ρ2/ρ1>1，向同的ρ2/ρ1值下，跨过激波的p2/p1大于等熵过程中的p2/p。但当拍p2/p1=1~2时，两者的差别非常小。激波绝热线具有渐近线：p2/p1→∞时，ρ2/ρ1→γ+1/γ-1。
   尽管气流通过激波后，压力可以无限升高，但密度的增加有限，最多只能增加到波前密度的γ+1/γ-1倍。不过考虑到高温空气发生振动激发和化学反应带来的影响后，密度比可到15~16。
   只有作为压缩突跃的激波才可能存在。当ρ2/ρ1>1时，有(p2/p1)激波>(p2/p1)等熵=(ρ2/ρ1)^γ。
   则当ρ2/ρ1<1时，有(p2/p1)激波<(p2/p1)等熵=(ρ2/ρ1)^γ。
   但突跃后熵的变化为s2-s1=cvIn(p2/p1)/(ρ2/ρ1)^γ。
   根据熵增原理，必有s2>s1，因此必有p2/p1>(ρ2/ρ1)^γ。
   这相当于压缩突跃的情况。反之，如有膨胀突跃，则会出现s2<s1，物理上是不成立的。所以说，跨过激波，气流的压力和密度升高，相应地，速度下降。
2. 正激波前后速度间的关系
   对量热完全气体，动量方程可改写为V2-V1=a1^2/γV1-a2^2/γV2。
   再利用由临界声速表达的能量方程，得a1^2/γ-1=γ+1/γ-1·a*^2/2-V1^2/2，a2^2/γ-1=γ+1/γ-1·a*^2/2-V2^2/2。
   将以上两式代入，得V2-V1=γ-1/2γ·(V2-V1)+γ+1/2γ·a*^2(1/V1-1/V2)。
   由于激波前后V1=V2，故得V1V2=a*^2或Ma1*Ma2*=1。
   该式称为普朗特公式。说明作为压缩突跃的正激波，V1>V2，则激波前Ma1*>1，激波后Ma2*<1。也就是说，在定常正激波中，激波前一定是超声速气流，而激波后一定是亚声速气流。
3. 正激波前后气流状态的变化
   进一步导出激波前后气流参数比与波前马赫数的关系
   由质量方程得ρ2/ρ1=V1/V2=V1^2/a*^2=Ma1*^2。
   再根据特征马赫数与马赫数的关系，得ρ2/ρ1=Ma1^2/[1+γ-1/γ+1·(Ma1*^2-1)]。
   根据动量方程，利用声速公式和上式得p2-p1/p1=γ·Ma1^2(1-1/Ma1*^2)。
   代入特征马赫数与马赫数的关系·后整理得p2/p1=2γ/γ+1·Ma1^2-γ-1/γ+1。
   得到激波前后密度和压力比后，根据量热完全气体状态方程可以进一步得到激波前后温度比T2/T1=[2γMa1^2-(γ-1)][(γ-1)Ma1^2+2]/(γ+1)^2·Ma1^2。
   通过激波，部分宏观动能耗散为内能，温度升高。不过温度升高的程度比压力弱。
   激波前后马赫数关系为(Ma2/Ma1)^2=1/MA1*^4·T4/T2。
   整理后得Ma2^2=(1+(γ-1/2)Ma1^2)/(γMa1^2-γ-1/2)。
4. 通过正激波总压和熵的变化
   通过正激波的流动是一维定常绝热流动。但跨越厚度仅几个分子自由程的激波，流动性质发生了剧烈变化，几乎是不连续的。激波内部有很大速度梯度和温度梯度，摩擦和热传导作用很强，因此通过激波的过程又是一个不可逆过程。
   激波前后，总焓、总温、驻点声速、临界声速等能量方程中的特征常数都是不变的，但总压和总密度下降，并且跨过激波有熵增。总压损失和熵增意味着黏性和热传导等耗散现象引起了机械能损失。
   波后与波前总压之比可以通过波后与波前静压比和波前后各自总压与静压之比（等熵关系式）确定如下：p02/p01=(1+(γ-1/2)Ma2^2/1+(γ-1/2)Ma1^2)^γ/γ-1(2γ/γ+1·Ma1^2-γ-1/γ+1)。
   最终整理得：s2-s1/R=-Inp02/p01=In{[1+2γ/γ+1(Ma1^2-1)]^1/γ-1[(γ+1)Ma1^2/2+(γ-1)Ma1^2]^-γ/γ-1}。
   下面分析微弱激波的熵增和总压比情况。弱激波指(p2-p1)/p1或(Ma1^2-1)是小量。令m=Ma1^2-1，m远小于1时，弱激波的熵增近似式为：△s/R=2γ/(γ+1)^2·(Ma1^2-1)^3/3。
   由上式可以看出，在弱激波情况下，熵的变化与(Ma1^2-1)^3成正比。因此粗略计算中，可以近似认为通过弱激波的熵值不变，并且可得到弱激波是总压比的近似式：p02/p01≈1-2γ/(γ+1)^2·(Ma1^2-1)^3/3。
   对于量热完全气体，通过正激波气流参数的变化可由上式计算。以比值形式给出的参数变化都只是波前马赫数的函数。

5.4 斜激波

5.4.1 引言

激波面与来流成一个斜角。跨过斜激波后，气流的压力、密度、温度有突跃，并偏转为平行于物面流动。
如果是一个线扰动源，其扰动的传播区域应是由两个马赫面组成的楔形域。当扰动波比简单声波强时，那么波前将超越声波界面，形成一个与气流方向夹角为β大于马赫角η的斜激波，β称为激波角。
超声速气流流过一个在点A处有有限大的向内偏转θ角的固壁时，也会产生斜激波，流动在壁面上，偏转角向上，称为向内偏转。斜激波前的水平超声速气流，通过斜激波后将会发生均匀的偏转以平行于物面，即气流也都向内偏转了θ角。气流参数也发生突跃，速度、马赫数下降，温度、压力、密度升高。曲线激波可以认为是无数微元段平面斜激波的组合，仅在其正中间的一个微段是正激波。
斜激波与正激波有共性，也各有特点。

5.4.2 斜激波与正激波的关系

1. 基本控制方程
   斜激波激波角为β，激波后气流速度矢量与波前气流速度矢量的夹角，亦称为气流偏转角θ。取一个包含斜激波在内的控制体，左右控制面平行于激波，上下控制面平行于流线（无质量流出），分别用下标1、2表示波前和波后参数。可以将波前和波后速度均分解为垂直于激波面的法向速度和平行于激波面的切向速度。对控制体采用积分形式的质量方程、动量方程和能量方程，可以得到斜激波的基本控制方程如下。
   应用积分形式的质量方程，得ρ1V1n=ρ2V2n。
   积分形式动量方程在激波面的法向n和切向t的投影分别为：ρ2V2n^2-ρ1V1n^2=p1-p2，ρ2V2tV2n-ρ1V1tV1n=0。
   将斜激波的质量方程代入切向动量方程，可得V1t=V2t。
   该式说明气体穿过斜激波后，流速的切向分量保持不变，产生突跃变化的只是法向分量。
   积分形式的能量方程应用到斜激波后，流速的切向分量保持不变，产生突跃变化的只是法向分量。
   积分形式的能量方程应用到斜激波控制体后为ρ2(h2+V2^2/2)V2n-ρ1(h1+V1^2/2)V1n=0。
   同样，在上式中代入质量方程，得h1+V1^2/2=h2+V2^2/2。
   应用V1t=V2t，能量方程又可写为h1+V1n^2/2=h2+V2n^2/2。
2. 控制方程分析
   对比斜激波的质量方程、法向动量方程和能量方程与正激波的相应控制方程，可见只要用斜激波前后的法向分量V1n、V2n代换正激波方程中的V1、V2，两组方程就完全一样。这说明斜激波前后气流在激波面法向上的分量符合正激波的规律，或者说，斜激波流场就是由正激波流场与一个流速为Vt的均匀气流叠加完成的。所以它与正激波流场在本质上是一样的，可以说是站在一个沿激波切向向下速度为Vt的动坐标系上观察上的流动。
   将正激波关系式中的V1和V2分别换为V1n和V2n，就可以直接导出斜激波关系式。从几何关系中，有V1n=V1sinβ，V2n=V2sin(β-θ)或Ma1n=Ma1sinβ，Ma2n=Ma2sin(β-θ)。
   斜激波的特点引入了激波角β和气流偏转角θ两个新参数。
   根据几何关系和斜激波前后切向速度不变的特点，可得Vt=V1ncotβ=V2ncot(β-θ)。
   而由于跨过激波法向速度减小，所以V1n>V2n，从而有β>β-θ，即θ>0。
   这说明气流通过斜激波后，向贴近激波面一侧偏转。这与产生斜激波的原因也是一致的：因为内折拐角的存在而在超声速气流中形成斜激波，气流跨过斜激波后转为平行于物面流动，向内折，即向贴近激波面一边偏转。

5.4.3 斜激波的基本关系式

1. 兰金-雨贡纽关系
   如前所述，斜激波可以通过坐标系的转换化为正激波，因此其前后热力学参数分别与相应正激波情况下相同。斜激波前后压力比与密度比之间也存在兰金-雨贡纽关系。
2. 斜激波前后法向速度间的普朗特关系
   斜激波前后的法向速度存在与正激波情况类似的普朗特关系。对量热完全气体，将法向动量方程改写为V2n-V1n=a1^2/γV1n-a2^2/γV2n，根据由临界声速表达的一维定常绝热流的能量方程，并定义an*，使γ+1/γ-1·a*^2/2-Vt^2/2=γ+1/γ-1·an*^2/2，上式可改写为a1^2/γ-1=γ+1/γ-1·an*^2/2-V1n^2/2，a2^2/γ-1=γ+1/γ-1·an*^2/2-V2n^2/2
   采用类似正激波情况导出普朗特关系式时的方法整理，可得V1nV2n=an*^2-γ-1/γ+1·Vt^2。进一步可得Ma1n*Ma2n*=1-γ-1/γ+1(Vt/a*)^2≤1。
   斜激波前后法向速度的普朗特关系式说明对于斜激波Ma1n*>1，必有Ma2n*<1，即V2n<a*。斜激波后气流可以是亚声速的，也可以是超声速的，与正激波不同。
3. 斜激波前后气流状态的变化
   利用斜激波和正激波的关系，将正激波前后参数比与波前马赫数Ma1的关系式中的Ma1换为斜激波的波前法向马赫数Ma1sinβ，即可得到斜激波前后参数比如下公式。
   导出关系式后，只要把斜激波转换为正激波，就可以解决问题。
4. 激波角β与气流偏转角θ的关系
   由速度三角形可得tanβ=V1n/V1t，tan(β-θ)=V2n/V2t。
   V1t=V2t，再利用质量方程和斜激波前后密度比式，得tan(β-θ)/tanβ=[2+(γ-1)Ma1^2sin^2β]/[(γ+1)Ma1^2sin^2β]。应用三角关系式后可继续整理为tanθ=2cotβ[Ma1^2sin^2β-1]/[Ma1^2(γ+cos2β)+2]。
   在波前马赫数一定时，激波角越大，激波越强。在正激波的情况下和当激波若华为马赫波时，气流偏转角为0。而当β从马赫角μ变为π/2时，θ总是正值，在这个范围内，θ有一极大值。该极大值和其对应的激波角可以对上式求导求极值得出：tanθmax=f(βm)。
   当β从马赫角μ变为π/2时，θ先增加后减小。当楔角θ>θmax时，无斜激波解，出现脱体激波。这是因为当楔角很大时，依靠斜激波使气流转折已不可能，只有形成脱体激波，利用正激波后的亚声速流动来实现气流的转向。上式可改写为以下形式tan^3β+Atan^2β+Btanβ+C=0。
   式中，A,B,C是Ma1、γ、θ的函数。该方程有三个解，其中一个无意义，对应一个θ有两个有物理意义的β值，较小的β对应波后马赫数Ma2>1（或略小于1），是弱激波解；较大的β对应Ma2<1，是强斜激波解。
   下面对β于θ的关系进行小结：
   1 . 对于给定的Ma1，存在θmax，tanθmax=f(βm)，当θ>θmax时，激波脱体，无斜激波解。
   2 . 在某一给定的θ角，有一个最小的马赫数Ma1,min，Ma1<Ma1,min时，无斜激波解。
   3 . 一个θ对应两个β，一个强解，一个弱解。
   4 . θ=θmax时，Ma2<1，斜激波后一定是亚声速流。
   具体问题中要由产生激波的具体条件——气流的来流马赫数和边界条件来确定。
   在超声速气流中产生激波有下列三种情况：
   1 . 由气流的偏折角所规定的激波。
   2 . 由压力条件所决定的激波。
   3 . 由壅塞所决定的激波。
5. Ma2和Ma1的关系
   Ma2^2=[(Ma1^2+2/γ-1)/(2γ/γ-1·Ma1^2sin^2β-1)]+[(Ma1^2cos^2β)/(γ-1/2·Ma1^2sin^2β+1)]。
   可见，Ma1一定时，如果β增大，Ma2就降低。β很小时，Ma2>1；β大过一定值时，Ma2<1。令β*和θ*分别表示Ma2=1时的β和θ的值，θ和θ*以及β和β*都很接近。

5.5 普朗特-迈耶膨胀波

直管中活塞向右内压时，产生压缩波的聚集而形成激波；直管中活塞向左外拉时，则会产生一系列膨胀波向右传播，但后面的波速小于前面的波速，因此膨胀波是散开的。类似，超声速气流向内折转时，会产生斜激波。

5.5.1 超声速定常气流绕凸角的平面流动的图像

设马赫数Ma1的超声速气流平行于壁面AO流动。在O点由于壁面突然向外转折，形成一个凸面。由于壁面的气流必与壁面相切，所以角点后壁面的流线会相对于角点前的超声速气流向下偏转一个角度θ。

1. 流动特点分析
   将扰动源产生的扰动视为无数个小扰动的叠加，即向外发出无数小扰动波，超声速气流中小扰动波传播的边界就是马赫线，扰动波也就是马赫波。对于向外折的绕凸角流动，这些马赫波是膨胀波。由于膨胀过程是经历一系列膨胀马赫波完成的，而通过每个马赫波，气流的熵增ds=0，因此整个膨胀过程是等熵过程。
   经过膨胀后气流压力降低，根据等熵关系式：p/p1=(ρ/ρ1)^γ=(T/T1)^γ/γ-1。
   可知膨胀后气流压力降低，根据定常绝热沿流线的能量方程，有cpT+V^2/2=cpT1+V1^2/2。
   可知膨胀后气流是加速的。另一方面，膨胀波后气流的温度、压力和密度的降低，意味着累积发出的膨胀波其波速（声速）是依次降低的，于是膨胀后气流的马赫数增大。
   由于每一道波后马赫数都增大，因而马赫角逐渐减小，据此可推知一道道膨胀马赫波的分布式逐渐散开的，由于Ma2>Ma1，所以μ2=arcsin(Ma2^-1)<μ1=arcsin(Ma1^-1)。
   可见对于任意向外转折角θ：μ2>μ1-θ总成立。超声速气流向外偏转时，会出现扇形膨胀区。
2. 各区气流参数
   OL1前为1区，气流平行于壁面AO流动，参数均匀，为常量。
   扇形L1OL2区域为膨胀区1’区：气流通过一道道膨胀波后，流线发生光滑连续的偏转，且马赫数连续增大，压力、密度、温度连续减小。通过膨胀区后流线相对于来流偏转角度θ，平行于壁面OB。
   OL2后为2区，超声速气流平行于壁面OB流动，参数均匀，为常量。
   三个区域的气流参数关系为：ρ1≥ρ1≥ρ2，p1≥p1'≥p2，T1≥T1'≥T2，Ma1≤Ma1'≤Ma2。
   三个区域流场均是均能、均熵，亦是无旋的。

5.5.2 普朗特-迈耶膨胀波关系

P-M流动与径向尺寸无关，只是由于气流转折dθ这一扰动产生膨胀马赫波，使波后的各流动参数发生变化。可以从极坐标形式的无黏定常等熵流基本方程出发，求该自相似流动的精确解。

1. P-M膨胀流动的微分方程
   根据sinμ=1/Ma，cosμ=1/sqrt(Ma^2-1)。
   可得到P-M膨胀流动的微分方程：dθ=1/tanμ·dV/V=sqrt(Ma^2-1)·dV/V。
   当dθ→0时，上式精确成立，适用于任何气体，包括非完全气体。
2. P-M膨胀波关系
   对上式积分，积分起点（膨胀起点）定为：θ=0、Ma=1处，因此有θ=∫(1→θ)sqrt(Ma^2-1)dV/V。将dV/V采用Ma表示，由于V=Ma·a,，则dV/V=dMa/Ma+da/a。
   对量热完全气体，在定常绝热条件下，根据声速公式，有a=a0(1+γ-1/2Ma^2)^-1/2。
   其中a0为驻点声速，对上式取对数再微分，得da/a=-[γ-1/2Ma^2]/[1+γ-1/2Ma^2]·dMa/Ma。
   代入积分式，有θ=∫(1→Ma)(sqrt(Ma^2-1))/(1+γ-1/2Ma^2)·dMa/Ma。
   经过积分，得到P-M膨胀波关系式θ=v(Ma)=sqrt(γ+1/γ-1)arctan(γ+1/γ-1·(Ma^2-1))-arctan(sqrt(Ma^2-1))。
   上式给出了Ma1=1时的超声速气流经过转折角θ膨胀后的气流马赫数Ma与θ的关系，需要注意只适用于量热完全气体。
3. P-M膨胀波关系式应用范围及方法
   根据上式，以Ma1=1时的气流膨胀后马赫数达到无穷对应的θ角为最大膨胀角，则有θmax=lim(Ma→∞)v(Ma)=(sqrt(γ+1/γ-1)-1)·π/2=130.45°。
   这其实只是想象的极限。膨胀后气流马赫数达到无穷，气流总焓全部转化为动能，p,ρ,T均为零。并且，θ>θmax时，由于p=0，空出来的空间只能任由其处于真空。实际上不可能，此时量热完全气体模型已不适用，而且由于黏性作用，不可能出现真空。不过转折角接近极限时，p,ρ,T很小。另外要注意的是这是Ma1=1时的气流最大碰撞角。Ma1>1，膨胀角小于130.45°。
   一般情况下，需要解决的是超声速气流的转折膨胀问题。即已知气流马赫数Ma1和转折角△θ，要求Ma2。这时可以补充一个假想的从声速气流转折膨胀到超声速气流Ma1的过程。
   先假设声速气流经过转折角θ1膨胀加速到马赫数Ma1，有θ1=v(Ma1)
   而Ma1气流再经过折转角△θ（即相对声速气流折转了θ2=θ1+△θ）后，膨胀加速为气流Ma2，对应θ1+△θ=θ2=v(Ma2)。于是可由v(Ma2)推出Ma2.
   能够这样换算的理由：在超声速气流中，下游的扰动只影响到其后的马赫锥内的区域，不会向上游传播。也就是说，对于任意两个马赫数Ma1→Ma2间的P-M流动，P-M膨胀关系式可表达为△θ=θ2-θ1=v(Ma2)-v(Ma1)。
   若△θ、Ma1、T1、p1、ρ1给定，则利用上式可以确定Ma2，再利用等熵关系式求出T2、p2、ρ2。
   θ=v(Ma)=sqrt(γ+1/γ-1)arctan(γ+1/γ-1·(Ma^2-1))-arctan(sqrt(Ma^2-1))给出了膨胀后马赫数和对应折转角的关系。但已知马赫数求折转角容易，反之则困难。不过，可以根据该式制成数据表。

5.5.3 超声速气流绕二维曲面的流动

当不计气体的黏性时，可以取P-M膨胀流动的任意一条流线作为固壁，当超声速气流绕过这些凸曲面流动是，情况和绕外折角流动是一样的。于是绕凸面的流动就相当于绕若干假想的的外折角的流动。气流参数值的总变化只取决于波前气流参数和总折转角度，与气流的折转方式无关，不同折转方式只是改变了膨胀过程的快慢。
对任意形状的凸曲线也能应用P-M膨胀波关系式求解。对于任意凸曲面的绕流，可以认为是无数个P-M膨胀波的微元区域的组合。对于某一给定的来流Ma1和转折角△θ来说，凸曲线的形状只影响膨胀过程的快慢，不影响最后结果。
上述结论可以推广至绕缓慢变化的二维凹曲面的流动，超声速均匀气流遇到缓慢压缩时，在凹曲面上产生无数的直线压缩波。气流穿过微弱压缩波系的流动也可视为等熵压缩过程，因此这些是等熵压缩波。但与膨胀波相反，这些等熵压缩波是汇聚的，会在上方汇集成激波。由于等熵压缩是可逆的，所以在等熵压缩波汇集之前的流动区域，仍可用P-M膨胀波关系式，只是折角△θ按负值，即与膨胀方向相反做逆向运动。当压缩波汇集成一道激波后，变为熵增过程，P-M膨胀波关系就不再适用了。

5.6 激波-膨胀波理论对超声速翼型的应用

超声速气流流过翼型时，在翼面上将产生激波-膨胀波系。激波-膨胀波法就是根据这种绕流图像，以斜激波和膨胀波的理论为基础，直接求解超声速二维翼型的表面压力分布。而在求出了翼面的压力分布后，可以通过积分得出升力、波阻和力矩参数。用斜激波理论存在界限：在确实是能够产生斜激波的情况，也就是说绕流翼型的气流转折角不能超过对应马赫数下的最大转折角θmax。

5.6.1 超声速气流绕流平板翼型

超声速气流绕流平板是一个最简单的应用激波-膨胀波理论的例子。气流绕流有攻角的平板翼型时，在平板的上表面，由于流动方向发生改变（外折），在前缘处产生膨胀波，所以上表面的压力p2会小于自由来源流的压力p1，p2<p1；在平板下表面，气流发生内折，前缘处产生斜激波，下表面压力的压力p3会大于自由流压力p1，p3>p1。在后缘处，上下翼面的气流（超声速）流动方向是一致的，但压力不一致：上翼面压力低，下翼面压力高，因此在后缘处，上翼面气流要跨过一道斜激波向上偏折（内折），下翼面气流要跨过膨胀波向上偏折(外折)，上下翼面的气流分别经过激波和膨胀波后，气流压力相同，经过偏折后二者的流动方向也相同，且接近于与自由来流方向一致。
平板上下翼面的压力分布各自是均匀的，但上翼面压力p2小于下翼面压力p3，即p2<p1<P3。
因此沿平板长度积分后就会有一个垂直于垂直于平板向上的合力：R=(p3-p2)c。
该合力在垂直于来流方向的分量是升力，在平行于来流方向的分量为阻力：L=Rcosα=(p3-p2)ccosα，L=Rsinα=(p3-p2)csinα。

5.6.2 超声速气流绕流菱形翼型

考虑有迎角的对称菱形翼型的绕流，翼型周围产生的波系。翼面上下共划分了七个流动区域，每个区内的流动参数都是均匀分布的。

1. 上翼面
   在小迎角时，点A往上产生斜激波，而在大迎角则产生普朗特-迈耶膨胀波。现设为小迎角情况，迎角α小于菱形的半顶角ε。首先，A点气流内折，折角为ε-α，产生斜激波，产生斜激波，经过斜激波后流线平行于AB物面，到B点处物面有外折拐角，折转角为2ε，产生膨胀波，跨过扇形膨胀波区后气流平行于CD。
2. 下翼面
   A点气流内折，且折角比上翼面大，为ε+α，斜激波更强，因此气流压力高、马赫数低：p3>p2，Ma3<Ma2。
   气流在C点外折，折转角为2ε，也产生膨胀波，在同样折转角下，波后区气流要比上翼面膨胀波后区气流压力高，马赫数低：p5>p4，Ma5<Ma4。上翼面斜向下的气流和下翼面斜向上的气流在D点相遇时，彼此受到对方的压缩，在D点产生两道斜激波，上下翼面气流分别跨过这两道斜激波后，压力相等，流动方向也相同，但速度大小有可能不一样，之间形成滑流面p4<p6=p7>p5。
   计算中可以不考虑激波与膨胀波相交后产生的反射膨胀波和滑移线等。
   在气流有迎角时，上下表面气流的压力是不一致的，下表面压力大于上表面p3>p2，p5>p4。
   因此压力积分有法向合力，因而有升力；同时翼型前后表面上的压力分布也是不一致的，有p4<p2，p5<p3。压力积分有轴向合力，因而有阻力。
   翼型迎角为零时分析阻力会更简单。上下翼面流场完全对称，因此压力积分合力在法向分量为零，无升力。翼型前后压力不对称，因此有一个向后的压差阻力。这个在超声速气流中特有的阻力是由激波产生的，称为波阻。
   对于其他直线组成的翼型，应用激波-膨胀波理论解决问题的方法也类似。关键是要注意内折时，气流偏转角要小于对应马赫数下的θmax，保证是产生附体的斜激波而非是脱体激波，才能使绕翼型的超声速流动由一系列斜激波和膨胀波组成。

5.6.3 超声速气流绕流双弧翼型

对超声速气流绕流曲线翼型的情况，一定条件做简化后，也可以应用激波-膨胀波理论。
设双弧形翼型上下表面的曲线方程为y-±=0.3x-(1-x-)。
前缘处发出激波，前缘后物面倾角逐渐减小，翼面上处处要发出膨胀波，它们要和翼尖发出的头激波相交，相互作用后使头激波成为弯曲的；膨胀波与激波相交后，一部分落到翼面上，还要再次反射处膨胀波。尾激波也是弯曲的。翼面上下以及尾流的全部流场都是非均熵的，因而是有旋的。但如果来流马赫数Ma∞较大，头激波的激波角β较小，则头激波上的反射波落到翼面上的不多，从单纯计算翼面压力的角度而言，可以把实际波系简化为近似波系，因而可以使用激波-膨胀波法。
作为计算模型，通常按照翼前缘线与来流的夹角决定头部斜激波，把翼型弧面用若干折线段替代。

5.7 气体沿变截面管道的流动

气体在管道内的流动是另一类典型二等可压缩流动，一定条件下可以简化为一维或准一维流动。三维定常流场中，气体沿微元流管的流动与一维定常流动相像。而对管道流动，即使忽略黏性壁面的影响，严格的一维流动也要求流管必须是等截面的。
如果管道的面积是随x（管道轴向）变化的，即A=A(x)，这时的流动严格来说是三维的，流场变量是三维坐标的函数。特别是在边界处，速度必须与边界相切。因此速度除了x方向分量，还有y,z方向分量。不过，当管道截面积变化缓慢、管道曲率半径远大于水利半径（圆截面时的半径）时，物理量沿管轴方向的变化比其他方向上的变化大得多。这时可以认为只有x方向的速度，忽略在y,z方向的速度分量；垂直于流动方向的同一截面上的物理量可以采用截面的平均值表达，即对于任意给定的x位置，认为截面上物理量是均匀分布的。对定常流动，参数就只是x的函数。
这样的流动称为准一维流动，是对变截面管内真实流动的近似。

5.7.1 准一维定常流动的控制方程

1. 积分形式的控制方程
   对变截面管道流动，取控制体，控制面中截面1、2上有气体流入或流出，流速垂直于截面，管道壁面部分无流入流出，流动定常。
   将积分形式的质量方程、动量方程和能量方程应用于控制体，可得到准一维流动的控制方程组。质量方程为ρ1V1A1=ρ2V2A2。
   不考虑管道壁面的摩擦力，也不计彻体力，则x方向的动量方程为ρ2V2^2A2-ρ1V1^2A1=-∯pcos(n,x)δS。
   截面1、2上的压力沿x方向，侧壁上的压力垂直于壁面，将其投影到x方向，得ρ2V2^2A2-ρ1V1^2A1=-(p2A2-p1A1)+∫(A1→A2)pdA。
   无黏绝热并不计彻体力情况下，能量方程为ρ2(e2+V2^2/2+p2/ρ2)V2A2-ρ1(e1+V1^2/2+p1/ρ1)V1A1=0。
   对上式使用质量方程ρ1V1A1=ρ2V2A2，即得h2+V2^2/2=h1+V1^2/2
   可见对定常准一维流动，气流总焓在流动过程中保持不变，各截面上单位质量气体总焓相等。对于一维（或沿流线）的定常绝热能量方程形式相同，在此处依然适用。
2. 微分形式的控制方程
   对连续无间断的准一维流动1，还可以写出微分形式的控制方程组。
   上面积分形式的质量方程也可以写为ρVA=const。
   对其微分得dρ/ρ+dV/V+dA/A=0。
   将积分形式的动量方程中截面2上参数与截面1上参数的差改为微分，有d(ρV^2A)=-d(pA)+pdA。
   即Vd(ρVA)+(ρVA)dV=-Adp，化简得dp=-ρVdV。
   这就是微分形式的定常准一维流动的动量方程，与沿流线的定常欧拉方程相同。
   最后，将积分形式的定常绝热流能量方程写为h+V^2/2=const。
   对其微分，得dh+VdV=0。
   需要完全气体的状态方程满足热力学关系p=ρRT，另外假设气体为量热完全气体，得h=γ/γ-1·p/ρ=γ/γ-1·RT。

5.7.2 等熵条件下流动参数与截面积的微分关系

定常、无黏、绝热、无添质的变截面管道流动，如果流动是连续的，无激波间断现象，则为等熵流动。

1. 流动参数与截面积变化的微分关系
   将微分形式的控制方程用马赫数和管道截面积表达，然后求解方程得到马赫数与截面积的关系。
   对微分形式的动量方程dp=-pVdV应用完全气体状态方程和声速方程，得dp/p=-γMa^2dV/V。
   根据等熵过程，进一步得dρ/ρ=-Ma^2dV/V，dT/T=-(γ-1)Ma^2dV/V。
   将上式代入微分形式的质量方程，得dρ/ρ+dV/V+dA/A=(1-Ma^2)dV/V+dA/A=0。
   从而得到微分形式的截面积-速度关系为dA/A=(Ma^2-1)dV/V。
2. 流动参数随截面积的变化规律分析
   上式表明了变截面管道流动中，速度随管道面积的变化规律在超声速和亚声速情况相反：亚声速是速度的增加与面积的减小相联系，即随管道收缩速度增大，管道扩张则速度减小，与不可压流在定性上相同；而超声速时随管道收缩速度减小，管道扩张则速度增大。
   气流热力学参数随管道截面积的变化规律在超声速和亚声速情况的变化规律也是相反的。亚声速时管道的收缩和气流的膨胀相关联，随着管道收缩流动加速，压力、温度和密度减小；管道的扩张和气流的压缩相联系，随着管道扩张流动减速，压力、温度和密度增大。超声速时管道的压缩和气流的压缩对应，随管道收缩流动减速，压力、温度和密度增大；管道的扩张和气流的膨胀对应，随管道的扩张流动加速，压力、温度和密度减小。
   由面积-速度微分关系式可知，在Ma=1处，如果速度仍有变化，即dV≠0，则dA=0，即截面积变化率为零。由此可推断，声速必然出现在最小截面积处（管道喉部）。反过来，在管道的最大或最小截面处，即dA=0处，如不出现声速，Ma≠1，dV=0，即在该处的速度出现极值。
   要想产生超声速气流，管道的截面形状在亚声速段应该是收缩的，超声速段应该是扩张的，以声速处的截面积为最小具有这种形状的管道称为拉瓦尔喷管。
   下面选定特殊的临界截面（气流速度达到声速的最小截面），以它为参考量，导出各截面的面积膨胀比（截面积与临界截面的面积之比）和该截面上气流马赫数的关系。
   假设气流在喉部处达到声速。对定常绝热流动，气流速度等于当地声速时的参数就是临界参数。记该处截面积A*、速度V*、声速a*、马赫数和特征马赫数均为1，其他参数也加上标表征。
   根据质量方程ρVA=ρ*V*A*=ρ*a*A*，应用等熵关系式及温度关系后，有A/A*=(T*/T)^(γ+1/2(γ-1))·1/Ma，再根据等熵基本关系式将T/T用马赫数Ma表达，得(A/A*)^2=1/Ma^2[2/γ+1·(1+γ-1/2·Ma^2)]^(γ+1/γ-1)。
   上式称为面积-马赫数关系式，指出Ma=f(A/A*)，即管道内任一截面处的马赫数是当地截面积与声速喉部（临界截面）面积之比的函数。
   一个给定的A/A*值对应两个马赫数，一个亚声速值和一个超声速值，具体取决于管道前后的压力比。
   确定各截面上气流马赫数后，可以通过进一步应用等熵流基本关系，求得截面上气流参数与总参数的比值。

5.7.3 喷管的流速与流量的计算

使用喷管的两个目的：获得一定的气流速度或得到一定的质量流量。

1. 流速计算
   设喷管驻室参数为p0,ρ0,T0，出口处压力和界面积分别为pe和Ae，可以根据压力比，确定等熵流动情况下的出口流速Ve和马赫数Mae。
   改写能量方程γ/γ-1·pe/ρe+Ve^2/2=γ/γ-1·p0/ρ0，再根据等熵条件下pe/p0=(ρe/ρ0)^γ可得Ve^2/2=γ/γ-1·p0/ρ0·[1-(pe/p0)^γ-1/γ]，于是有Ve=sqrt{2γ/γ-1·p0/ρ0·[1-(pe/p0)^γ-1/γ]}。
   可见出口速度和驻室压力、密度（总温或总焓）的绝对数值与压比、比热容比都有关。
   马赫数为Mae=Ve/ae=sqrt(2/γ-1·[(pe/p0)^(γ-1/γ)-1])。
   上式导出用了声速公式ae=sqrt(γRTe)和等熵条件。可见无量纲的流速（马赫数）只与压比和比热容比有关。
   从流速和马赫数和压比的关系发现，随着压比的连续增大，流速连续增大。
2. 流量计算
   应用等熵关系式和声速公式后，可得到等熵流动的质量流量为m·=ρeVeAe=p0/sqrt(T0)·sqrt(2γ/R(γ-1))·sqrt((pe/p0)^(2/γ)-(pe/p0)^(γ+1/γ))Ae。
   p0、T0、Ae一定时，m·在pe/p0=1时值为零；随pe/p0从1开始减小，m·首先增大，在pe/p0=[2/γ+1]^(γ/γ-1)=0.528时达到极大值，之后m·随pe/p0减小而减小，在pe/p0为无穷小时m·降为零。
   实际喷管流动中流量的增加有限。对等熵流动，pe/p0=0.528对应气流速度到达声速，只能出现喷管的喉部。当pe/p0从1降到正好使喉部气流达到声速，喷管流量到达最大值。此时喉部下游全是亚声速气流。可以根据喉部截面的临界参数计算喷管流量的最大值。
   mmax·=ρ*a*A*=ρ0a·ρ*a*/ρ0a0·A*=p0·sqrt(γRT0)/RT0·(2/γ+1)^1/γ-1·(2/γ+1)^1/2·A*=(γ/R)^1/2·(2/γ+1)^[γ+1/2(γ-1)]·p0/sqrt(T0)·A*=K·p0/sqrt(T0)·A*。
   由上式可知，对于一定形状的喷管，允许的最大质量流量正比于气流总压，反比于总温的平方根，对空气，式中的比例系数为K=0.04042。
   喷管喉部处气流达到声速后再继续降低pe/p0，喉部下游会出现超声速流动，但喉部及其上游的流动参数和喷管的质量流量都保持不变，因为下游的压力扰动无法通过超声速气流向上游传播。也就是说，一旦流动在喉部处达到声速，喷管的质量流量就被给定的p0、T0以及喉部面积大小所限定，之后不管pe/p0怎样降低，都无法增大流量，称这种流动为“壅塞”流。壅塞之前的流量可根据压比计算。
   拉瓦尔喷管在工程中应用广泛。采用拉瓦尔喷管的目的是在其出口处获得所需的气流参数。出口处的气流参数不仅取决于喷管的截面积的变化情况，也取决于喷管出口下游环境压力（又称为背压pB）与入口上游总压p0之比。

5.7.4 拉瓦尔喷管的设计工况

拉瓦尔喷管的设计工况为：整个喷管内是无激波的连续流动，在出口处气流马赫数为设计值Mae,1(>1)，压力pe,1等于背压pB。这时的pe,1/p0称为设计工作压力比。由喷管出口的设计马赫数Mae,1可以确定出口处面积比：Ae/A*=1/Mae,1·[2/γ+1·(1+γ-1/2·Mae,1^2)]^(γ+1/2(γ-1))。
设计工况，喉部必是临界截面，喉部以后的扩张段则是超声速等熵流，不出现激波。根据出口处的设计马赫数Mae,1，又等熵关系式可以确定设计工作压力比：pe,1/p0=(1+γ-1/2·Mae,1^2)^(-γ/γ-1)。
只有pB与pe,1精确相等，才能获得设计工况下的超声速流动。

5.7.5 亚声速工况

当pB=p0，即喷管入口和出口不存在压力差时，喷管内没有流动产生。若将pB稍微降低，如pB=0.99p0，则这一小的压力差会在喷管内产生速度非常低的流动。气流速度和马赫数在喉部之前随着管道的收缩逐渐增加，在喉部达到最大值，但仍为亚声速；在喉部下游，随着管道的扩张气流速度和马赫数又不断降低。整个喷管内全是亚声速气流。对应，压力在喷管收缩段的入口处的p0逐渐降低至喉部处某一最小值，然后沿扩张段逐渐增加至出口处的压力值pe。出口处的气流速度、马赫数和喷管流量根据上式确定。可见纯亚声速流动中，流速和流量是随背压不同而改变，当背压稍有升降时，出口处的压力扰动在亚声速气流中能向上游传播，改变各处气流参数。
可以在确定出口马赫数后，由各截面积与出口截面积之比采用下式确定各截面处的马赫数（取亚声速值）：(A/Ae)^2=(Mae/Ma)^2·[1+γ-1/2·Ma^2/1+γ-1/2·Mae^2]^(γ+1/γ-1)。
式中，A是该流动状况下一个假想的临界截面，它小于真实的喉部截面，即At>A。如此确定了喷管中的马赫数分布后，可再进一步根据等熵流关系式确定压力、温度和密度分布。

5.7.6 管内或管口出现正激波的工况

在某个压力比范围，拉瓦尔喷管的出口处或管口的扩张段某处会出现一道正激波。设管口产生正激波对应的喷管工作压力比为pe,3/p0。
当pB/p0=pe,2/p0时，气流在喷管喉部达到声速，而在扩张段内完全是亚声速流，当喷管工作压力比满足pe,2/p0>pB/p0>pe,3/p0时，扩张段内会局部出现超声速气流，在扩张段内某处产生正激波，气流通过正激波后压力突增，激波后的亚声速气流随着管道的扩张再等熵地减速增压，直至出口处与外界压力pB匹配。激波在管内的位置是随着pB不同而变化的。当pB稍小于pe,2时，激波很弱，位置很接近于喉部；随着pB逐渐降低，激波位置越来越像出口截面靠近。pB=pe,3时，激波正好发生在出口。截面上，而出口截面之前的流动和设计工况完全相同。pe,3就是设计工况下出口超声速气流（马赫数Mae,1，压力pe,1）经过正激波后的压力，利用正激波关系式即可得到pe,3/pe,1=1+2γ/γ+1·(Mae,1^2-1)。
对于管内发生正激波的情况，已知出口面积比Ae/A和压力比pB/p0时，可以确定激波出现的位置。喷管流动中，无论是否等熵，出口面积比与压力比的乘积均满足以下关系：pe/p0·Ae/A*=1/Mae·(2/γ+1)^(γ+1/2(γ-1))·(1+γ-1/2Mae^2)^(-1/2)。
可以利用数据表确定管内激波位置，具体步骤如下：
1 . 首先根据给定的(pe/p0)·(Ae/A)值，直接查等熵流函数表确定对应的出口马赫数Mae，并确定pe/p0e。
2 . 根据pe/p0e和pe/p0算出p0e/p0，亦即激波前后总压比p02/p01。
3 . 正激波的总压损失是由波前马赫数唯一确定的，所以根据p02/p01可得波前马赫数Mas1。
4 . 再根据Mas1或从等熵流函数表查得As/A*，代入给定A*后，就定出了激波所在位置的截面积As。

5.7.7 管外出现斜激波或膨胀波的工况

pB=pe,1时，喷管处于设计工况。
pB=pe,3时，管口出现正激波。
当pB比pe,1有所增加，又低于pe,3时，喷管工作压力比满足pe,3/p0>pB/p0>pe,1/p0。
管口外出现斜激波。这是由于当喷管出口处是超声速流时，背压增大引起的扰动，不会传到上游管内去，只能在管口使气流进行调整，以满足出口的压力平衡条件，只能用产生斜激波的方式与外界背压达到平衡。
当pB<pe,1时，气流在管内膨胀不足，要使出口压力平衡，只能在管口外产生膨胀波，使气流压力从pe,1降低到pB。

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