具体的公式
这部分内容来自供应链管理中的第十二章安全库存中的结论
假设第 i i i期的产品需求服从均值为 D i D_i Di、标准差为 σ i \sigma_i σi的正太分布且各期需求相互独立。假设提前期服从均值为 L L L，标准差为 s L s_L sL的正太分布。那么，提前期（不确定的）内的总需求服从均值为 D L D_L DL、标准差为 σ L \sigma_L σL的正太分布，其中：
D L = D ∗ L , σ L = L σ D 2 + D 2 s L 2 D_L = D * L, \sigma_L = \sqrt{L\sigma_{D}^{2}+D^{2}s_{L}^{2}} DL=D∗L,σL=LσD2+D2sL2
以上公式的具体推导
假定需求量 Y Y Y有如下的表达式
Y = X 1 + ⋯ + X N , Y = X_1+\dots +X_N, Y=X1+⋯+XN,
其中
X i ∼ N ( D i , σ i 2 ) X_i \sim N(D_i, \sigma_i^{2}) Xi∼N(Di,σi2)
和
N ∼ N ( L , s L 2 ) N\sim N(L,s_L^{2}) N∼N(L,sL2)
的分布。
现在来推到该公式。首先推导条件期望：
E [ Y ∣ N = n ] = E [ X 1 + X 2 + ⋯ + X N ∣ N = n ] = E [ X 1 + X 2 + ⋯ + X n ] = n E [ X ] E[Y|N=n] = E[X_1+X_2+\dots+X_N|N=n] \\ =E[X_1+X_2+\dots+X_n]\\ =nE[X] E[Y∣N=n]=E[X1+X2+⋯+XN∣N=n]=E[X1+X2+⋯+Xn]=nE[X]
因此可以得到
E [ Y ∣ N ] = E [ X 1 + X 2 + ⋯ + X N ∣ N ] = E [ X 1 + X 2 + ⋯ + X N ∣ N ] = N E [ X ] E[Y|N] = E[X_1+X_2+\dots+X_N|N] \\ =E[X_1+X_2+\dots+X_N|N]\\ =NE[X] E[Y∣N]=E[X1+X2+⋯+XN∣N]=E[X1+X2+⋯+XN∣N]=NE[X]
最后可以得到
E [ Y ] = E [ E [ Y ∣ N ] ] = E [ N E [ X ] ] = E [ N ] E [ X ] = D × L E[Y] = E[E[Y|N]] = E[NE[X]]=E[N]E[X]\\ =D\times L E[Y]=E[E[Y∣N]]=E[NE[X]]=E[N]E[X]=D×L
即提前期（不确定的）内的总需求的期望 D L = D × L D_L=D \times L DL=D×L。
下面我们开始得到其方差。
同样我们先对条件形式的求方差
V a r ( Y ∣ N = n ) = V a r ( X 1 + X 2 + ⋯ + X N ∣ N = n ) = V a r ( X 1 + ⋯ + X n ∣ N = n ) = V a r ( X 1 + ⋯ + X n ) = n V a r ( X ) Var(Y|N=n) = Var(X_1+X_2+\dots+X_N|N=n)\\ =Var(X_1+\dots+X_n|N=n)\\ =Var(X_1+\dots+X_n)\\ =n Var(X) Var(Y∣N=n)=Var(X1+X2+⋯+XN∣N=n)=Var(X1+⋯+Xn∣N=n)=Var(X1+⋯+Xn)=nVar(X)
因此可以得到
V a r ( Y ∣ N ) = N V a r ( X ) Var(Y|N) =N Var(X) Var(Y∣N)=NVar(X)
最后可以得到
V a r ( Y ) = E [ V a r ( Y ∣ N ) ] + V a r ( E [ Y ∣ N ] ) = E [ N V a r ( X ) ] + V a r ( N E [ X ] ) = E [ N ] × V a r ( X ) + ( E [ X ] ) 2 × V a r ( N ) Var(Y) = E[Var(Y|N)]+Var(E[Y|N])\\ =E[NVar(X)]+Var(NE[X])\\ = E[N]\times Var(X)+(E[X])^{2}\times Var(N) Var(Y)=E[Var(Y∣N)]+Var(E[Y∣N])=E[NVar(X)]+Var(NE[X])=E[N]×Var(X)+(E[X])2×Var(N)
附录（推导全方差公式）
已知方差的定义：
V a r ( Y ) = E [ Y 2 ] − ( E [ Y ] ) 2 Var(Y) = E[Y^{2}]-(E[Y])^{2} Var(Y)=E[Y2]−(E[Y])2
假设条件概率的方差为(根据定义可以展开)
V a r ( Y ∣ X ) = E [ Y 2 ∣ X ] − ( E [ Y ∣ X ] ) 2 Var(Y|X)=E[Y^{2}|X]-(E[Y|X])^{2} Var(Y∣X)=E[Y2∣X]−(E[Y∣X])2
那么
E [ V a r ( Y ∣ X ) ] = E [ E [ Y 2 ∣ X ] ] − E [ ( E [ Y ∣ X ] ) 2 ] = E [ Y 2 ] − E [ ( E [ Y ∣ X ] ) 2 ] E[Var(Y|X)]=E[E[Y^{2}|X]]-E[(E[Y|X])^{2}]\\ = E[Y^{2}]-E[(E[Y|X])^{2}] E[Var(Y∣X)]=E[E[Y2∣X]]−E[(E[Y∣X])2]=E[Y2]−E[(E[Y∣X])2]
并且利用方差的定义
V a r ( E [ Y ∣ X ] ) = E [ ( E [ Y ∣ X ] ) 2 ] − ( E [ E [ Y ∣ X ] ] ) 2 = E [ ( E [ Y ∣ X ] ) 2 ] − ( E [ Y ] ) 2 Var(E[Y|X]) = E[(E[Y|X])^{2}]-(E[E[Y|X]])^{2}\\ = E[(E[Y|X])^{2}]-(E[Y])^{2} Var(E[Y∣X])=E[(E[Y∣X])2]−(E[E[Y∣X]])2=E[(E[Y∣X])2]−(E[Y])2
以上两式相加，即
E [ V a r ( Y ∣ X ) ] + V a r ( E [ Y ∣ X ] ) = E [ E [ Y 2 ∣ X ] ] − E [ ( E [ Y ∣ X ] ) 2 ] = E [ Y 2 ] − E [ ( E [ Y ∣ X ] ) 2 ] + E [ ( E [ Y ∣ X ] ) 2 ] − ( E [ Y ] ) 2 = E [ Y 2 ] − ( E [ Y ] ) 2 = V a r ( Y ) E[Var(Y|X)]+Var(E[Y|X]) = E[E[Y^{2}|X]]-E[(E[Y|X])^{2}]\\ = E[Y^{2}]-E[(E[Y|X])^{2}] + E[(E[Y|X])^{2}]-(E[Y])^{2}\\ = E[Y^{2}]-(E[Y])^{2} \\ =Var(Y) E[Var(Y∣X)]+Var(E[Y∣X])=E[E[Y2∣X]]−E[(E[Y∣X])2]=E[Y2]−E[(E[Y∣X])2]+E[(E[Y∣X])2]−(E[Y])2=E[Y2]−(E[Y])2=Var(Y)
今天的文章补货提前期对库存水平的影响_补货数量计算公式分享到此就结束了，感谢您的阅读。
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