约瑟夫环问题的两种解法（详解）[亲测有效]

题目：

Josephus有过的故事：39 个犹太人与Josephus及他的朋友躲到一个洞中，39个犹太人决定宁愿死也不要被敌人抓。于是决定了自杀方式，41个人排成一个圆圈，由第1个人开始报数，每报数到第3人该人就必须自杀。然后下一个重新报数，直到所有人都自杀身亡为止。然而Josephus 和他的朋友并不想遵从，Josephus要他的朋友先假装遵从，他将朋友与自己安排在第16个与第31个位置，于是逃过了这场死亡游戏。

对于这个题目大概两种解法：

一、使用循环链表模拟全过程

#include<iostream>

using namespace std;

/************约瑟夫问题****************/

typedef struct CLinkList
{
    int data;
    struct CLinkList *next;
}node;


int main()
{
///建立循环链表
    node *L,*r,*s;
    L = new node;
    r =L;
    int n = 41,i;
    int k = 3;
    for(i = 1;i<=n;i++)       //尾插法建立链表
    {
        s = new node;
        s->data = i;
        r->next = s;
        r= s;
    }
    r->next =L->next;       //让最后一个结点指向第一个有数据结点
    node *p;
    p = L->next;
    delete L;   //删除第一个空的结点

///模拟解决约瑟夫问题
    while(p->next != p)                            //判断条件：因为最后肯定剩下一个人， 循环链表的最后一个数据的next还是他本身
    {
        for(i = 1;i<k-1;i++)
        {
            p = p->next;                         //每k个数死一个人
        }
        cout<<p->next->data<<"->";
        p->next = p->next->next;                   //将该节点从链表上删除。
        p = p->next;
    }
    cout<<p->data<<endl;
    return 0;
}

二、公式法

我们假设这41个人编号是从0开始，从1开始报数，第3个人自杀。

1、最开始我们有这么多人：

[ 0 1 2 3 4 5 ... 37 38 39 40 ]

2、第一次自杀，则是(3-1)%41=2 这个人自杀，则剩下：

[ 0 1 3 4 5 ... 37 38 39 40 ]

3、然后就是从编号为3%41=3的人开始从1报数，那么3号就相当于头，既然是头为什么不把它置为0，这样从它开始就又是与第1,2步一样的步骤了，只是人数少了一个，这样不就是递归了！！！就可以得到递归公式。想法有了就开始做：

4、把第2步中剩下的人编号减去3映射为：

[ -3 -2 0 1 2 ... 34 35 36 37 ]

5、出现负数了，这样不利于我们计算，既然是环形，37后面报数的应该是-3，-2，那么把他们加上一个总数（相当于加上360度，得到的还是它）

[ 38 39 0 1 2 3 ... 34 35 36 37 ]

6、这样就是一个总数为40个人，报数到3杀一个人的游戏。

这次自杀的是第5步中的(3-1)%40=2号，但是我们想要的是第2步中的编号（也就是最初的编号）

那最初的是多少？对应回去是5；

这个5是如何得到的呢？是（2+3)%41得到的。大家可以把第5步中所有元素对应到第2步都是正确的。

7、接下来是

[ 35 36 37 38 0 1 2... 31 32 33 34 ]

自杀的是(3-1)%39=2，先对应到第5步中是(2+3)%40=5，对应到第2步是(5+3)%41=8。

8、这下看出来规律了把：

我们是正着推的，如果反过来推导，每次剩下的人的编号为f(i)，剩一个人的时候编号一定为0，两个人为0,1，以此类推，则利用以下公式可以推导出每次剩下的人。

  f(1)=0;
  f(i)=(f[i-1]+m)%i;(i>1)

代码如下：

#include<iostream>

using namespace std;

///推导公式方法
int yuesefu(int n,int m){
        if(n == 1){
                return 0; //这里返回下标,从0开始，只有一个元素就是剩余的元素0
        }
        else{
                return (yuesefu(n-1,m) + m) % n; //我们传入的n是总共多少个数
        }
}
int main(void){

        int a=41,b=3;
        //递归求最后一个存活的编号
        //使用从正向思考
        cout<<"最后一个人是"<<yuesefu(a,b)+1<<endl;

        //反向思考，从自杀的最后一人向前
        int result = 2;
        //第一个自杀的人3号
        cout<<3;
        //每次自杀的都是2号，但是不同的2号换算到最初序号所需的的次数是不同的
        //外循环是循环不同的换算次数
        for(int i = a; i >= 2 ; i-- )
        {
            result = 2;
            //内循环是开始换算
            for(int j = i; j <= a; j++)
            {
                result = (result+b) %j;
            }
               cout<<"->"<<result+1;//0开始变1开始，所以加1
        }
        return 0;
}

结果是一样的：