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多元函数的极值及其求法

编程基础 • • 阅读 62

多元函数的极值及其求法一 多函数的极值与最值 1 1 极值 1 1 1 二函数极值定义例如 z x2 y2z sqrt x 2 y 2 z x2 y2 在 0 0 处取得极小值 z x2 y2z sqrt x 2 y 2 z x2 y2 在 0 0 处取得极大值 KaTeXparseer Expected EOF got atposition5 z xy 在 0 0 多函数求极值

一、多元函数的极值与最值

1.1、极值

1.1.1、二元函数极值定义

在这里插入图片描述
例如：
z = x 2 + y 2 z=\sqrt{x^2+y^2} z=x2+y2 ​在(0,0)处取得极小值
z = − x 2 + y 2 z=-\sqrt{x^2+y^2} z=−x2+y2 ​在(0,0)处取得极大值
z = x y z=xy z=xy在(0,0)处,既不是极大值，又不是极小值

1.1.2、推广到n元函数

在这里插入图片描述

1.2、极值存在的必要条件

在这里插入图片描述

1.3、极值存在的充分条件

  • 一元函数极值的第二充分条件 二阶导数存在

在这里插入图片描述

最值问题

有界闭区域连续，必定存在最值
最值可能出现的位置： 极值，驻点，边界上
问题： 多元函数中求取边界上的最值，是很困难的

2.1、条件极值

将极值问题转换为无条件极值

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2.2、拉格朗日乘法

2.2.1、推导

  • 隐函数存在定理，及求导
    在这里插入图片描述

2.2.2、具体步骤

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2.2.3、多个拉格朗日乘子

在这里插入图片描述
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编程小号
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