海洋科学—物理海洋学第六章海洋中的波动现象

海洋波动是海水重要的运动形式之一，以多种形式存在，比如风生浪、海洋内部密度跃层上的波动(内波)、物体(如海岸滑坡以及海冰)溅入海水中引起的波浪(飞溅浪)、海啸、潮汐等。不同形式的波动其物理特征不同，如周期，风生浪周期为几秒到几分钟，海啸周期为几个小时，而潮汐的周期为半天到一天。在海洋的各种波动中，以风生浪所占据的能量最大。海洋表面的波浪产生的原因很多，如风、大气压力变化、天体引潮力和海底地震等都会引起扰动，释放能量。

一、波动现象

海洋中的波动在形式上极为复杂，波形极不规则，传播方向变化不定，不可能用简单确定的数学公式来描述。所有的波动都会通过周围物质的周期性运动来传递能量，而介质本身并不会沿着能量传播的方向输送，微粒只是在做周期性振动(上下、前后或全方位振动)，例如当风吹过麦田时，麦秆会以来回摆动的形式波动，但是麦秆本身位置并没有改变。

不同形式的波，其传播方式千差万别，一直振动并持续传递的行波可以分为纵波、横波和轨道波。纵波的每个质点的振动方向和能量传播方向相同，如击掌或用手击打桌子时，能量会沿桌子传播，并被其他人感知，在这个过程中，桌子本身并不运动，能量可以由气态、液态或者固态物体传播。横波的能量传播方向和质点的振动方向垂直，如绳子一端固定，另一端握在手中做上下振动时，能量的传播方向和绳子的振动方向垂直。通常，横波能量只能通过固态物体传播。轨道波的质点沿圆周路径运动，海浪的运动属于轨道波，这种波沿两种不同密度的流体(液体/气体)的分界面传输能量。

1、海浪的运动学特征

当波浪经过一个固定的空间位置，会引起海面上下周期性振动，在理想情况下，这种周期性振动接近以时间为变量的正弦或余弦函数。取水深h 为常数， x 轴位于静水面上， z 轴竖直向上为正。波浪在x-z 平面内运动。图中描述海浪运动的参数有以下10个。

(1)波峰。在周期性振动中，水面达到的最高位。

(2)波谷。在周期性振动中，水面降到的最低位。

(3)振幅A 。静水面至波峰的垂直距离。

(4)波高H 。波谷至波峰的垂直距离， H=2A。

(5)波长L 。两个相邻波峰或波谷之间的水平距离。

(6)波数k 。2π 距离内波的个数， $k=\frac{2\pi }{L}$

(7)波周期 T 。波浪推进1个波长所需的时间。

(8)圆频率σ。2π时间内波的个数， $\sigma =\frac{2\pi }{T}$

(9)波基面 D 。海浪影响所能达到的深度，大约为1/2波长， $D\approx \frac{L}{2}$

(10)波陡S。波高与波长的比值 $S=\frac{H}{L}$ ，当波陡S 大于1/7时，波浪的波动形态无法保持平衡，会发生破碎。

如果海面起伏用这个函数η=η(x,t)表示静水面至波面的垂直位移，理想波面可用余弦(或正弦)函数表示，即

所以，在特定水深h下，任何一个波列可由波浪参数波高H 、波长 L 、周期T所确定。任一种波浪理论均可根据这3个基本参数来确定其运动特性，如波浪传播速度、水质点运动速度和轨迹等。

海浪中的水质点的运动轨迹近似圆形。如在使用海浪浮标观测海浪时发现，波峰接近时，浮标上升并向后运动；波峰经过时，浮标向上并向前运动；波峰过去后，浮标向下并向前运动；波谷接近时，浮标向下并向后运动；下个波峰接近时，浮标继续向上和向后运动，即海浪经过时，浮标经历了一个圆周运动，并且最终回到原点附近。圆周运动会随着水深的增加而减弱，到达一定深度，几乎可以忽略不计。由此可见，海浪传播的是能量而不是质量。

目前关于海浪的研究方法主要有两种：①理论方法。理论方法就是假设海水是不可压并且运动无旋，利用流体动力学方程研究理想的规则波动(正弦波和斯托克斯波等)。 ②统计方法。统计方法就是将实际观测资料与波动理论相结合，将实际海浪视为一系列振幅不等、相位不同的正弦波的叠加，利用谱分析的方法确定波谱的特征。

由于海浪具有非线性三维特征和明显的随机性，不易进行精确数学描述，因此常将三维非线性波浪问题转化为较简单的二维平面波。对于二维平面波，迄今已有许多不同理论来描述其运动特性，其中最著名的理论有两个：①Airy(1845) 提出的微幅波理论，又称为线性波理论；②Stokes(1847) 提出的有限振幅波理论。微幅波理论是基本的波浪理论，它较清晰地表达出波浪的运动特性，易应用于实践，是研究其他较复杂波浪理论以及不规则波的基础。在数学上，Airy理论可以看作是对波浪运动进行完整理论描述的一阶近似值。对于某些情况，用斯托克斯有限振幅波理论描述波浪运动会得到更加符合实际的结果。此外，Korteweg 和 deVries(1895)提出椭圆余弦波理论，它能很好地描述浅水条件下的波浪形态和运动特性。罗素在1834年发现了孤立波的存在，这种波可视为椭圆余弦波的一种极限情况，在近岸浅水中，应用孤立波理论可获得满意的波浪运动的描述，因而也被广泛应用。

2、海浪运动控制方程和定解条件

为了简化起见，一般作如下假定：①流体是均质和不可压缩的，其密度为常数； ②流体是无黏性的理想流体；③自由水面的压力是均匀的且为常数；④水流运动是无旋的；⑤海底水平且不可穿透；⑥体积力仅为重力，表面张力和科里奥利力可忽略不计； ⑦波浪属于平面运动，即在x-z平面内作二维运动。

根据流体力学原理，在无旋运动假定下的波浪运动为有势运动，即存在速度势函数 φ，其由下式定义：

上式即为速度势φ的控制方程，即著名的拉普拉斯(Laplace)方程。给出适当的边界条件，可得到拉普拉斯方程的解，进一步得到流速场(u,w)。在理想无旋不可压缩流体、体积力仅为重力的条件下，不可压无黏运动方程组可简化为伯努利方程，推导过程如下：

式（6-7）和式（6-11）表明，在理想无旋不可压缩流体，仅在重力作用下，流速场和压力场可分开求解，求出速度势函数φ后，可由式（6-11）求得压力场。数学上，式（6-7）是二二阶偏微分方程，为了求得定解，需要边界条件。

(1)海底表面设为固壁，因此水质点垂直速度应为0，即

$\frac{\partial \phi }{\partial z}=0,z=-h$ (6-12)

(2)在波面z=η处，应满足动力学边界条件和运动学边界条件。动力学边界条件为水面上压力为常数(大气压)，因此在式(6-10)中取z=η，并令p=0，得自由表面动力学边界条件：

$\left [\frac{\partial \phi }{\partial t} \right ]_{z=\eta }+\frac{1}{2}\left [\left (\frac{\partial \phi }{\partial t} \right )^{2}+\left (\frac{\partial \phi }{\partial z} \right )^{2} \right ]_{z=\eta }+g\eta =0$ (6-13)

上式中含有非线性项，故这个边界条件是非线性的。

自由表面的运动学边界条件的物理意义是，在流体界面上，不应有穿越界面的流动，否则界面就不能存在，即流体界面具有保持性，某一时刻位于界面上的流体质点将始终位于界面上，不能有相对法向位移，因而界面上水质点法向速度等于界面运动法向速度。

如流体界面方程表示为F(x,z,t)=0, 则流体界面运动学边界条件为 $\frac{\mathrm{d} F}{\mathrm{d} t}=0$ 即 $\frac{\mathrm{d} F}{\mathrm{d} x}=\frac{\partial F}{\partial t}+\overrightarrow{v}\cdot \bigtriangledown F=0$ ，在自由表面上F(x,z,t)=η(x,t)-z=0, 故 $\frac{\partial \eta }{\partial t}+u\frac{\partial \eta }{\partial x}-w=0,z= \eta$ ，可写为

$\frac{\partial \eta }{\partial t}+\frac{\partial \eta}{\partial x}\frac{\partial \phi}{\partial x}-\frac{\partial \phi}{\partial z}=0,z=\eta$ (6-14)

这显然也是一个非线性边界条件。

(3)流场左、右两端面的边界条件可根据简单波动在空间和时间上呈周期性来确定。从空间上看同一个相位点的波要素是相同的，在时间上看一个周期后的波要素也应相等，故波浪场左右两端边界条件可表示为φ(x,z,t)=φ(x+L,z,t)=φ(x,z,t +T)，对于二维推进波，流场左、右两端边界条件可写为

φ(x,z,t)=φ(x-ct,z) (6-15)

其中，x-ct 表示波浪沿x正方向传播。

数学上把这种只给定边界条件而不需给定初始条件的方程定解问题称为边值问题。要精确解出上述二维波列的定解，将遇到如下两个困难：

(1)自由水面边界条件是非线性的。

(2)自由水面位移η是未知的，即自由表面边界是不确定的。

因此，要求得上述水波方程的边值问题的解，最简单的方法是先将边界条件线性化，将问题化为线性问题求解。

二、线性波理论，小振幅重力波

小振幅重力波，亦称正弦波，是一种简单波动。简单波动的特性可近似地说明实际海洋波动的许多现象。小振幅重力波系指波动振幅相对波长为无限小，重力是其唯一外力的简单海面波动。理论上解决的办法是：根据流体力学的连续方程、运动方程和边界条件，在假定流体无粘滞性，运动是无旋的，波面上的压力为常数的条件下求解。本章只引用已有理论的结论，着重于一些基本概念的论述。以下就小振幅波动的波形传播与水质点的运动、波速、周期与波长的关系，波动能量，波动的叠加等问题加以讨论。

1、线性波控制方程、定解条件和理论解

为了把上节所述的水波问题线性化，假设波浪运动是缓慢的，波动的振幅A远小于波长L或水深h。根据微小振幅这一假设，利用小参数摄动方法略去式(6-13)和式(6-14)中的非线性项，使问题得到线性化，从而得到线性波控制方程和边界条件：

上两式表明波长L 、波速c 与波周期T 以及水深h 之间存在互相依赖的关系。当水深给定时，波的周期越长，波长亦越长，波速也越大，这样就使不同波长的波在传播过程中逐渐分离开来。这种不同波长(或周期)的波以不同速度进行传播最后导致波的分散现象称为波的色散现象。色散方程还表明，波浪的传播还与水深有关，水深变化时，波长和波速也将随之发生变化。

对于深水和浅水两种极端情况，色散方程可以做不同的简化，可得到深水波和浅水波的近似表达式。

（1）深水波

当水深力或动为无限大时，双曲函数 $\left [tanh kh \right ]_{kh\rightarrow \infty }\approx 1$ ，实际上，当水深时，tanhkh=0.9962, 其误差不超过0.4%,说明当水深h 大于波长L 的一半时，可认为是深水情况。这时的色散方程可以简化为

（6-18）

其中， L₀ 和c₀ 分别表示深水波的波长和波速。上式表明，在深水情况下，波长和波速只与周期有关，和水深无关。

（2）浅水波

当水深相比于波长很小时，即kh→0, 双曲函数tanhkh≈kh，于3%，可认为是浅水情况，这时的色散方程可简化为

（6-19）

其中，Ls和Cs分别表示浅水波波长和波速。上式表明，在浅水情况下，波速只与水深有关，且与水深的平方根成正比，而与周期和波长无关。因此任意波周期(波长)的波浪传播到浅水区后，波浪的传播速度只受当地水深控制。

2、线性波的速度场和加速度场

利用速度势函数，可求得流体内部任一点(x,z)处水质点的水平分速度u 和垂直分速度 w：

（6-20）

3、线性波质点的运动轨迹

在一个波长内，静止时位于(x₀,zo)处的水质点，在运动的任一瞬间，位置在 $\left ( x_{0}+\xi ,z_{0}+\zeta \right )$ 处， $\left ( \xi ,\zeta \right )$ 是水质点在水平和垂直方向的迁移量。水质点在波动中以速度 $\left ( \frac{\mathrm{d} \xi }{\mathrm{d} t} ,\frac{\mathrm{d} \zeta }{\mathrm{d} t}\right )$ 运动着，为了求得任一时刻的水质点迁移量 $\left ( \xi ,\zeta \right )$ ,假定水质点只是在静止位置周围作微幅运动，因此可以将任一位置水质点的运动速度用流场中(x₀,zo)处的速度来代替，而忽略速度在点(x₀+ξ,zo+ζ) 与点(x₀,z₀)之间的差别，即

（6-21）

因此，该运动轨迹为一个封闭的椭圆，其水平长半轴为a，垂直短半轴为b。在水面处，zo=0，b=A，即为波浪的振幅；在水底处，zo=-h，b=0，水质点在水底只做水平运动。

在深水情况下，a=b=Ae^(kz0)，水质点运动轨迹为一个圆，在水面处轨迹半径为波浪振幅，随着水质点距离水面深度的增大，轨迹圆的半径以指数函数形式迅速减小，当时，轨迹半径为振幅的，一般情况下，可认为水质点基本上是不动了，所以，在工程上常认为当水深超过波长的一半时，可视为深水情况。

4、线性波的压力场

线性波场中任一点的波浪压力可由线性化之后的伯努利方程求得，

(6-22)

5、线性波的波能和波能流

在二维波浪中，一个波长范围中所储存的总波能由势能和动能两部分组成，波浪势能是由于水质点偏离平衡位置造成的。为求波动所引起的一个波长范围内的平均势能 Ep, 我们考虑水体中微体的体积为dxdz, 其势能为pgzdxdz。沿水深积分，并取一个波长范围内平均的总势能为

(6-23)

上式表明线性波平均总波能与波高的平方呈正比，其单位是J/m²。

线性波传播过程中不会引起质量输移，因为它的水质点运动轨迹是封闭的，但波动会产生能量的输送。在风区内，因风输入能量使水体产生波动，离开风区后，波浪保持运动自由传播到浅水区，在那里波能受底部摩阻作用和波浪破碎影响将大部分能量消耗掉，其余能量最终使波浪在岸上爬高。显然，波浪在传播过程中存在能量传递，在一个波长内传递的平均能量称为波能流。

6、波群和群速

前面所讨论的波浪特性均限于类似规则波(正弦波)这样的简单波，实际海洋中的波浪是由不同周期、不同波高的许多个波叠加起来的，即为不规则波。为了研究不规则波的特性，我们假定波浪是由两列波高相同、波周期略有差别的正弦波叠加而成，

（6-24）

其波面方程分别为

在深水中 $n=\frac{1}{2}$ ，合成波波峰以速度c向前传播，而波群包络线却以 $C_{g}=\frac{c}{2}$ 的速度向前传播。波浪穿越波群包络线时，振幅开始增大，然后减小，在波群节点处波浪振幅减小为0。

三、非线性波理论，有限振幅波动

前面讨论的线性波理论是基于波动振幅相对于波长无限小的假设，忽略了波陡平方(s²)和其他高阶项，然而在实际海洋中的波动振幅对于波长来说是不能视为是无限小的，波动其实有振幅，并且振幅有限，因此，引入了有限振幅波来解释一些实际波动现象，有限振幅波包括斯托克斯波、椭圆余弦波、孤立波等，有限振幅波波面形状是波峰较陡、波谷较坦的非对称曲线，这是由非线性作用导致的。本节只对非线性波理论做简单的描述，详细理论推导请参见海洋波浪理论方面的专著。

1、斯托克斯波

有限振幅波中的斯托克斯波是由斯托克斯于1847年提出有限水深二阶波浪理论发展起来的。斯托克斯波的特点是，波面变陡，水质点轨迹不封闭进而产生波流，引起海水向一定方向的输运。质量输移问题对于近岸的泥沙输运特别重要，因此，斯托克斯波对近岸泥沙输运的研究有着重要的应用价值。

（1）斯托克斯波的波剖面

该波剖面不是简谐曲线，它对于横轴上下不是对称的，水质点的振动中心高于平均水面

（2）波速与波高

有限振幅波速不仅与波长有关，而且与波高有关。当波陡，即波高与波长之比愈大时，波速也愈大。其波速的近似公式为

$c^{2}=\frac{g\lambda }{2\pi }(1+k^{2}a^{2})=\frac{g\lambda }{2\pi }(1+\pi k^{2}\delta^{2})$ (6-25)

可见其波速略大于小振幅波。由上式可以看出，当波高与波长之比(δ=H/λ)很小时，便蜕变为小振幅波速的形式。

（3）水质点运动轨迹

水质点的运动轨迹与小振幅波动中的运动轨迹相似，接近为圆，但在一个周期内不是封闭的。其水平方向与铅直方向上的位移变化分别为

$\left\{\begin{matrix} \zeta +-aexp(kz_{0})sin(kx_{0}-\sigma t)+k^{2}a^{2}cexp(2kz_{0})\cdot t\\ \eta =aexp(kz_{0})cos(kx_{0}-\sigma t) \end{matrix}\right.$ (6-26)

上式说明水质点在一个周期内，水平方向上向前存在一个净位移

$\overline{u{}'}=k^{2}a^{2}cexp(2kz_{0})$ (6-27)

显然它随深度指数地减小。在水面上(zo=0),uo=k²a²c 。此水平位移称为 “波流”,可用以解释在波浪传播方向上导致的海水运输现象。不难计算，跨过单位波峰线宽度，自表至波动消失处，单位时间内，由于波流运输的海水体积为波流对海流、波浪的成长以及泥沙的输运都具有一定的影响。

（4）波动的能量

小振幅波中，波动的动能与势能相等，但对斯托克斯波而言并不相等，而是 Ek>Ep，即动能大于势能；还可证明，在铅直方向上波动的动能大于水平方向上的动能。

（5）波动的振幅与波高

当波动的振幅(从而波高)相对波长之比超过一定限度时，波面将破碎，理论上：其破碎角为120°,或波陡。实际观测发现，当波峰就会破碎。小振幅波理论尚不能解释实际海浪的破碎现象。

2、椭圆余弦波

波浪传入近海浅水区时，海底边界的摩擦阻力影响迅速增加，波高和波形将不断变化。由于斯托克斯波不适用于水深很浅(如h<0.125L)的情况，这时应该采用浅水非线性波理论。在浅水非线性波理论中主理论是椭圆余弦波理论以及孤立波理论。其中椭圆余弦波理论是最重要的浅水非线性波理论之一。这个理论认为波浪的各种特性都可以用雅克比椭圆函数形式给出，因此将这个理论命名为椭圆余弦波理论。

3、孤立波

孤立波在传播过程中，波形保持不变，水质点只朝波浪传播方向运动，而且它的波面全部位于静水面以上。由于孤立波的波形和近岸浅水区的波浪很相似，又由于它比较简单，所以在近岸的研究工作中特别是在近岸区波浪破碎前后范围内以及在研究波浪破碎和近岸泥沙运动等方面，孤立波得到了广泛的应用。

相对小振幅波而言，有限振幅波具有较大振幅。它与实际海浪的形状更接近。有限振幅波动理论很多，例如斯托克斯波、摆线波、孤立波等，其理论推导多是繁杂的。为了与小振幅波作一比较，本节只简要介绍一下斯托克斯波理论的一些主要结论，不作进一步论证。

四、海洋内波

1、内波现象

在海洋内波被发现之前，已有一系列关于内波的研究。1752年，富兰克林(Franklin)制作了意大利油灯，灯里装入一部分油和一部分水，他发现无论灯怎么摆动，上层油的表面始终保持光滑平静，但是在油和水的界面却产生了波动，实际上是油和水的界面处产生了内波。1847年，斯托克斯(Stokes)把界面波动推广到了理论层面，研究了两层流体的界面波动，这个研究比海洋内波的发现早了半个世纪。1883年，瑞利(Rayleigh) 把斯托克斯的这个研究扩展到了连续层化的流体中，使得其与海洋实际是连续分层的结构这一事实相符合。南森(Nansen)在1893～1896年去北极考察期间，发现船行驶到巴伦支海时，仿佛被一股神秘力量拖住，他当时把这种现象称为“死水现象”。1904年，埃克曼对“死水现象”给出了解释，巴伦支海域由于表面冰的融化，海水表面形成薄的淡水层，当船行驶到这个淡水层区域时，船的航行会在淡水层和盐水层的界面处产生波动(内波)。船动能中的很大一部分通过生成内波被耗散掉，从而导致船速度减慢甚至停止不前。随后，越来越多的观测资料揭示了内波的存在，而这时大家才意识到，原来观测资料中很多被认为的“噪声”，其实是海洋中真实存在的动力过程—内波。

内波是发生在密度稳定层化的海水内部的一种波动，可以直观理解为等密度面的起伏。内波振幅可达几十米到几百米，而波长在几十米至几十千米之间。这里，首先不加证明地给出内波的基本特征，对于内波，其基本特征包括：①内波的最大振幅出现在海洋内部，在海表面起伏相对很小。这显然区别于表面波振幅的分布特征。②内波的频率介于惯性频率和浮力频率之间，内波时间尺度在几分钟到几十小时之间，大于表面波的周期。③一般而言，内波的恢复力为重力与浮力的合力，该力的大小要明显小于表面波的恢复力——重力。这一特性也决定了内波的振幅要比表面波大得多。在具有稳定层结的两层流体中(p₂>p1), 在不同密度界面处发生的波动便是内波。

研究表明，内波的生成需要具备3个条件。①海水密度分布要稳定层化，即海水的密度分布要满足轻的海水置于重的海水之上的条件，实际海洋的状态基本满足该条件。

可以推测，若不满足这一条件，即轻的海水在重的海水之下，重的海水在重力作用下要和轻的海水发生位置的“对调”,因此这种情形下海水无法处于一个稳定状态。②内波的生成要有能量来源，内波作为海洋中的动力过程，它的出现需要能量，因此能量来源是内波生成的另一个重要条件。③内波的生成还需要激发源，能量转化的过程需要激发源才能实现，一般而言实际海洋中的激发源为变化的地形。实际海洋中常见的内波生成例子便是潮流流经变化的地形时生成内潮，这一过程在全球海洋中广泛存在。

内波的生成可以基于海水层结定性说明。密度在垂直方向存在变化的流体通常被称作层化流体。对于海洋而言，其密度的分布一般随着深度增加而增大，即轻的海水始终存在于重的海水之上。直观而言，海洋中海水密度的这种垂向分布结构是比较稳定的，海水在垂向上一般不会发生由于垂向密度差异而导致的对流。然而，海水层化结构是否稳定，靠直观定性的刻画显然是不够的，那么是否存在可以刻画该特征的定量参数呢，以海洋为例，忽略海水密度随时间和水平方向的变化，海水密度仅为垂向坐标 z(z向上为正)的函数，即 ρ(2) 。下面分类讨论不同层化结构下，海水的稳定性特征。首先考虑密度随深度减小的情形，即 $\frac{\mathrm{d} \rho }{\mathrm{d} z}>0$ 。这时，若某一深度处的海水水团在外力或者其他外加干扰下，从z 处移动到z+△z处，由于该过程时间较短，可认为水团在移动过程中绝热，该水团在z+△z处所受的合力为它在该深度处所受浮力和自身重力的合力，即

（6-28）

该力通常被称为约化重力。由于 $\frac{\mathrm{d} \rho }{\mathrm{d} z}>0$ ，故 F>0。这意味着水团在受扰动被抬升之后，由于浮力作用，会继续向上运动，从而远离起始点。显然，初始的密度结构会在初始扰动发生之后产生改变。对于这种情形，可以认为海水层化结构是不稳定的。当密度随深度增加时，即 $\frac{\mathrm{d} \rho }{\mathrm{d} z}<0$ ，此时，若同样有一水团绝热从z 处移动到 z+△z 处，该水团所受合力仍与上述情形一致。然而，由于该种情形下，密度的垂直梯度小于 0 $\left (\frac{\mathrm{d} \rho }{\mathrm{d} z}<0 \right )$ ，所以该水团此时受到的合力向下，即 F<0 。这意味着，被抬升的水团因受到向下的约化重力的作用，会向下朝着起始点运动。当水团到达起始深度后，此时虽然其受到的约化重力为0,但水团却不会停止在起始深度，它自身具有的初速度会让其冲过起始深度继续向更深的深度运动。当其冲过起始点后，由于此时自身的密度要小于其周围海水的密度，故会受到向上的浮力作用，该浮力会使水团向下运动的速度最终减为0并转为向上运动。如此周而复始，如果不考虑能量的耗散，该水团会在其起始深度之间来回运动。对于这种层化结构，可以认为海水是稳定的。

显然，对于海水的层化结构是否稳定，可以通过考察密度梯度的符号来进行衡量，因此定义参数：

$E=-\frac{1}{\rho }\frac{\mathrm{d} \rho }{\mathrm{d} z}$ （6-29）

该参数的正负和大小反映了海水是否稳定及其稳定性程度，称作海水稳定度。若 E<0，则表明海水层化不稳定，绝对值越大，说明越不稳定；若 E>0, 则表明海水层化处于稳定状态，值越大，说明海水越稳定；当 E=0 时，表明没有垂直密度梯度，海水密度均匀。

基于约化重力表达式，可以给出水团在外力消失之后的运动方程：

（6-30）

显然，上述方程是否存在波动解取决于N² 的符号。当N²>0 时，上述方程存在波动解，且其恢复力为浮力和重力的合力，即约化重力；而当N²<0, 上述方程没有波动解，对应的指数解不具有实际物理意义。而对于上述提及的稳定层化的流体，由于，显然N²=0。

基于N的定义可以知道，其单位为Hz，通过分析该波动方程解的特征可以发现，若解为波动解，那么其振荡的频率为N，也即波动会以N为频率做上下振荡。N通常被称作浮力频率，也被称为布伦特-维赛拉(Brunt-Vaisãla)频率。它的大小反映了海洋层化或者层结的稳定性和强度。上述的分析忽略了海水压缩性的影响，而在较深的水层，海水的压缩性会影响海水密度大小，进而影响浮力频率的大小。

浮力频率的分布随深度呈现出先增加后减小的趋势，在跃层处存在着最大值，这与密度梯度的垂向分布相对应。此外，浮力频率在不同季节也表现出一定的差异。在冬季，强的季风过程通过搅拌作用会使得上混合层加深，从而导致浮力频率最大值对应的深度加深，也即跃层加深；而夏季，季风减弱，混合层变薄，于是跃层变浅。同时，不同季节层结的强度也存在着差异，夏季层结的最大值明显大于冬季最大值。冬季由于季风强、辐射弱，层结较弱；夏季弱的季风和较高的海面温度使密度梯度增加，从而导致层结加强。上述差异仅局限于海洋上层，而在深层，浮力频率的季节性差异便不再明显。

2、界面内波

内波的一种最简单的形式是发生在两层密度不同的海水界面处的波动，称为界面内波。实际海洋中密度是连续变化的，但可近似地把海洋中强跃层处的波动视为界面内波，它能解释很多内波现象。

两层的密度为p1、pz₂(p2>p1),上层与下层的厚度分别为h₁与h₂。理论上可求得界面上存在正弦波，其波速为

式中“cth” 为双曲余切函数。

（1）界面短波

当λ比h₁、h₂ 短得多时，即界面在无限深海的中部时，则简化为*

（2）界面长波

式中当波长比 h₁、h₂大得多时，则简化为。取 h₁=0，h₂ 记为 h，显然式便分别蜕化为相应的表面波速公式。

由此可知，表面波和界面内波公式之区别仅为后者含有系数[(p₂-p₁)/(p₂+p₁)]H² 。在海洋中两层流体的密度相差是很小的，因此该系数也很小，即使在温跃层处也不大，约为1/20。可见具有相同波长的界面波与表面波之速度比约为1/20,即界面波的传播速度比表面波慢得多。

（3）界面内波的振幅

振幅为 a 的正弦表面波在一个波长内具有能量*，因为当h₁/λ与hz/λ很大时，则皆趋于1。

E₀=pzaógλ/4，而相应界面内波之能量为E=(p₂-p₁)a²gà/4，若取能量相等的界面内波和表面波进行比较，即若 E=E₀, 则有a/ao=[p₂/(p₂-p₁)]l²≈30。

由此可知，若以相同的能量激发表面波与界面波，界面波的振幅则约为表面波的30倍。这是由于在密度层结稳定的海洋中，密度铅直方向的变化很小，即使在强跃层处其相对变化也不很大。因此，即使海水微团受到某种能量不大的扰动，也会偏离其平衡位置并在恢复力的作用下发生振幅相当大的振动。在海洋调查中常常可以记录到波高为几米乃至几十米的内波。

（4）界面内波中的水质点运动

界面内波引起上下两层海水方向相反的水平运动，从而在界面处形成强烈的流速购切。由于在同一层中波峰与波谷处流向相反，导致了水质点运动的辐聚与辐散，在峰前谷活形成辐散区，在谷前峰后形成辐聚区。此时若上层海水较薄，在海面处则会呈现出由它们引起的条状分布图案。当天气晴朗，微风吹拂海面时，抑或海面上漂浮着油斑或碎物时，辐散区呈光滑明亮条带，而辐聚区则呈现粗糙暗淡状态的条纹。这些条带可随波的传播而移动，这种现象在海洋中可经常观察到。

3、内波基本控制方程

对于实际海洋中密度的分布，它是空间变量 x、y、z 和时间变量 t的函数，可以将其拆分为3个量的叠加，将密度写为

它是一个密度常数p₀、仅与深度z有关的密度场戸(z)和密度扰动p'(x,y,z,t)的叠加。Po 是参考密度，为常数；ρ(z)通过密度减去参考密度后对时间和水平方向取平均后得到。相应的，压强也类似地可分解为如下形式：

该方程组即为布西内斯克近似下的线性方程组。需要注意的是，上述线性方程组认为背景海水静止，即平均态的流速为0，这可以大大简化运动方程组。若背景海水流速不为0, 此时流场也可以进行类似分解，分解为平均场和扰动场之和。显然，此时的方程组是否为线性方程组取决于平均流场的分布特点。

4、内波频散关系

（1）垂向本征方程

上节中，推导得到了小扰动假定下内波的线性控制方程组，方程组中有5个方程5个未知量，理论上可以得到内波方程的解。针对方程组中前3个方程，分别可以两两作运算消去方程右侧的压力项

上述方程仅包括未知量 w, 表明不考虑边界影响或边界影响确定的条件下，线性内波的垂向流速分布与海洋垂向层结N和局地科里奥利参数f有关。该方程刻画线性内波垂向流速的结构特征，包括空间分布和时间变化，被称为内波的垂向本征方程。

（2）内波频散关系

基于内波的垂向本征方程，可以求解其对应的内波解。与前面求解波动方程的方法类似，假设上述本征方程对应的内波垂向流速w满足如下波动解形式：

上式反映了内波频率和自身水平、垂直波数、浮力频率以及惯性频率之间的关系，即为内波的频散关系式。将上述表达式移项，内波频散关系式可写为如下形式：

通过该式可以看出，内波的传播方向并非固定，不但与其自身的频率有关，还与背景场的浮力频率和惯性频率有关。不同于表面波的二维传播过程，它是一种在三维空间传播的波，而且是斜向传播的波。若背景浮力频率和惯性频率一定，内波传播方向取决于其自身频率的大小，与垂直方向夹角为；显然，对于内波而言，由于频率介于惯性频率和浮力频率之间，其传播为斜向传播。当内波自身频率o 趋近于惯性频率f 时，其传播方向趋近于沿垂直方向，当其频率o 趋近于浮力频率N 时，其传播方向趋近于沿水平方向。

5、海洋中的大尺度波动

（1）线性波动理论

为方便阐述海洋大尺度波动的基本特征，我们首先讨论线性波动理论。假设海水均质、无黏，此时大尺度波动可以通过如下浅水方程组进行刻画：

其中， u 、v 分别为波动在x 、y 方向的流速；f为科里奥利参数；g为重力加速度；η为海面起伏；h=η+H，H为平均水深(如不特别说明，H为常数)。

对于大尺度波动，满足以下假定。

Ⅰ罗斯贝数：，而时间罗斯贝数

Ⅱ波动振幅相比于平均水深而言为小量，即η<H。

基于假定Ⅰ，可以将水平运动方程的非线性项略去，而基于假定Ⅱ可以将连续方程非线性项线性化，最终得到控制大尺度波动的方程组。

（2）开尔文波

上节介绍了在开阔海域中出现的庞加莱波。本节将考虑另一种情况，一种需要侧向边界的波动，即开尔文(Kelvin)波。该波动最常发生在沿海岸线的近岸区域以及赤道区域。这里我们引入一个简单的模型，考虑一层有界流体，其下为水平底部，其上为自由表面，在其一侧为垂直的边界。因此，沿边界(x=0), 其法向速度为0。

其中， F 为其变量中的任意函数。

由于随着远离岸界呈指数衰减，开尔文波被认为是边界俘获波，即在岸界附近的一定范围内存在。在北半球(f>0)，沿开尔文波传播方向，其右侧为海岸；在南半球则相反。开尔文波也存在于赤道区域，称为赤道开尔文波。

（3）罗斯贝波

罗斯贝波，亦称行尾渡，它是一种远远小于惯性频率f的低频波。它的恢复力不是重力也不是科氏力，而是科氏力随纬度的变化率，即β=3f/ay。考虑β效应，求解波动方程得出的结论说明，它与前述波动具有一些基本不同的性质。

在密度均匀的海洋中，罗斯贝波具有以下频散关系：

$\sigma =-\beta k_{x}/K^{2}$ (6-68)

式中 K 为波数，反映波浪传播的方向，称为波数向量。它的三个分量分别为kx、ky、kz。由于我们讨论的波动只沿水平方向传播，故kz=0 。因此

$K^{2}=k_{x}^{2}+k_{y}^{2}$ (6-69)

这样，沿波向及沿x 、y方向的波速分量分别记为

$c=\frac{\sigma }{K},c_{x}=\frac{\sigma }{K_{x}},c_{y}=\frac{\sigma }{K_{y}}$ (6-70)

所以，沿波向的波速 c 最小。(6-68)代入（6-70）得

$c_{x}=-\frac{\beta }{K^{2}},c_{y}=-\frac{k_{x}\beta }{K^{2}k_{y}}$ (6-71)

在我们取的坐标系中x向东，y向北，z向上，因此β值永远为正。K及其分量皆为实数，所以c始终为负值，(cy为正或负则由ky决定)，说明罗斯贝波的传播方向始终偏向西方。

罗斯贝波的波速极慢，设ky=0,λ=200 km,在中纬度(φ=45°),其波速为 0.16 m/s。与相应的长重力波相比，小几个量级；其周期为14天，比相应的长重力波大好几个量级。当波长很大时，罗斯贝波的频散关系具有如下形式

$\sigma =-\frac{\beta k_{x}}{K^{2}+\frac{1}{R^{2}}}$ (6-72)

式中 $\frac{1}{R^{2}}=\frac{f^{2}}{gh}$ (h为水深)，所以

$R=\frac{\sqrt{gh}}{f}$ (6-73)

称为罗斯贝波形变半径。在中纬(45°)海域，水深h=500m 10³km, 若在10°的水域，则R=8×10³km。

罗斯贝波的传播机制，可用位涡守恒的原理来解释。若海底平坦，则有位涡守恒

$\frac{\mathrm{d} (\zeta +f)}{\mathrm{d} t}=0$ (6-74)

式中，ζ为相对涡度，f 为行星涡度，二者之和为绝对涡度。显然当f 增大时，ζ 值为负，即产生顺时针旋转；反之，当f 减小时，ξ值为正，产生逆时针旋转。用图6-12可以说明罗斯贝波传播的机制。

设在参考纬圈上海水的相对涡度ζ为零，经过扰动，向北运动的海水，由于 f 值增大，据式(6-39),则ξ为负值，故产生顺时针的环流。同理，向南运动的海水，将产生逆时针方向的环流。且离开参考纬圈越远的海水涡度越大。可以设想，在实线上与 D 点相距无穷小的两点，所产生的环流将在 D 点相切，而偏北那点环流的南向分量要比偏南那点的向北分量大。因此在 D 点产生了一个净向南的分量。同理，在 A 点也产生一净向南的分量，在 C,B 两点产生净向北的分量。因此，下一时刻各点新位置的连线将如图中虚线所示，它表明罗斯贝波向西传播了。

由于罗斯贝波的波长很大，相比之下它在铅直方向上的运动十分微弱，在实际海洋中，可以认为它只是一种水平流系，流向基本与波向垂直。

海洋中还存在着许多长波运动形式，例如陆架波，它的特点是波动能量明显地集中在大陆架上沿海岸传播等等。

6、风浪和涌浪

风浪是指当地风产生，且一直处在风的作用之下的海面波动状态；涌浪则指海面上由其他海区传来的或者当地风力迅速减小、平息，或者风向改变后海面上遗留下来的波动。

风浪和涌浪是海面上最引人注目的波动。风浪的特征往往波峰尖削，在海面上的分布很不规律，波峰线短，周期小，当风大时常常出现破碎现象，形成浪花。涌浪的波面比较平坦，光滑，波峰线长，周期、波长都比较大，在海上的传播比较规则。

观测表明，在海洋中风浪和涌浪会单独存在，但往往同时存在，它们的传播方向也往往不同。有经验的观测者很容易把它们区分开来。

（1）风浪的成长与消衰

风浪的成长与消衰主要地取决于对能量的摄取与消耗之间的平衡关系。

风向海面输送能量能够引起海流，同时也会引起波动，关于波动如何从风中摄取能量而成长的机制，目前尚无统一而确定的论断。一般认为，由于风对海面的扰动，首先引起毛细波(波纹),这就为风进一步向海面输送能量提供了必要的粗糙度。然后通过风对波面的压力，继续向波动提供能量，使其不断成长。与此同时，由于海水的内摩擦等使能量损耗。当波浪传至浅水或岸边时，由于海底摩擦或者发生破碎时，使能量损失殆尽，波浪消失。对能量的摄取与消耗的关系本书不作详细讨论。

Ⅰ风浪成长与风时、风区的关系

常言道“风大浪高”，“无风不起浪”,这是对风与浪关系的一种描述。但这只是部分正确。人所共知，小小的水湾中，哪怕再大的风也决不会掀起汪洋大海中那种惊涛骇浪，因为它受到了水域的限制。另外，即便是在辽阔的海洋中，短暂的风也不会产生滔天巨浪。可见风浪的成长与大小，不是只取决于风力，而是与风所作用水域的大小和风所作用时间的长短有密切关系。

为此，我们引进风时和风区两个概念，以便于对风浪成长的讨论。所谓风时，系指状态相同的风持续作用在海面上的时间；所谓风区，是指状态相同的风作用海域的范围。习惯上把从风区的上沿，沿风吹方向到某一点的距离称为风区长度，简称为风区。当然，风浪的成长还与其他因子有关，例如海洋水深、地形、岸线形状等。在此我们仅就风时、风区与其成长的关系加以描述。

假定风速一定的风沿Ox 方向吹，0点为风区上沿，OA 为风区内某点A 的风区长度。观察A 点风浪成长以及其他各处风浪成长的过程。假定，当风开始作用于海面上时，风区内各点都同时产生尺寸相同的一系列波浪，以相同的速度沿x 方向传播，在传播过程中分别从风中摄取相同的能量而以相同的尺度增长。在这种前提下，不难理解，不同时刻在 A 点观察到的波浪都是从风区上沿不同地点传播而来的。离 A 点越近的波浪到达A 点所用的时间越短，传播过程中从风中摄能量也越少，因此尺度也越小，反之，离 A 点距离越远的波浪传至A 点时其尺度越大。离 A 点最远的波浪是从风区上沿产生的，当它传播至A 点后，此时A 点的风浪尺度便达到了理论上的最大值，亦即再不会随时间的增加而增大了，达到了定常状态。同样，A 点向风区上沿方向的波浪均比A 点更早的达到了定常状态。而向风区下沿方向的波浪还将随时间的增长而继续增大，故称为过渡状态。定常状态波浪的尺度是越靠近风区上沿越小，过渡状态的波浪尺度则是相同的。但当A 点达到定常状态时，随着时间的推移，定常状态区域会继续向风区下沿方向移动，过渡状态区的波浪尺度同时继续增大。

根据上述讨论可见，在定常风的作用下，对应于风区内某点，风浪达到定常状态所用的时间是一定的，这段时间称为最小风时。或者说，对应于某一风区 (长度)，风浪成长至理论上最大尺度所经历的最短时间称为最小风时。其实从讨论开始的假设条件知，这段时间就是风区上沿所产生的波浪传播至某点经历的时间，因此不同风区，对应于不同的最小风时，当实际风时大于最小风时时，波浪为定常状态，反之为过渡状态。

同理，当实际风时一定时，当然对应于某一风区(长度)内的波浪达到定常状态，此一风区长度称为最小风区。因此最小风区的定义为，对应于某一风时，风浪成长至理论上最大尺度所需要的最短距离。当实际风区小于最小风区时风浪为定常状态，反之为过渡状态。

以上讨论了风浪成长与风时、风区的关系，提出了最小风时与最小风区的概念，以及如何利用它们对风浪状态进行判断。同时可以看出，定常状态的波浪只受制于风区，而过渡状态的风浪则只受制于风时。

但是，当风时与风区足够长与足够大时，风浪尺寸是否会无限增长呢？回答是否定的。因为波浪在成长过程达到一定尺度后，由于内摩擦等原因所消耗的能量比它摄取的能量增加得快，当摄取与消耗的能量达到平衡时，波浪尺寸便不再增大。此时的风浪称为充分成长状态，达到充分成长状态所对应的风时与风区，称为充分成长的风时与风区。

Ⅱ涌浪的传播

当海面的风力迅速弼小、平息或风向改变后，海面上遗留下来的波动将不会从原来的风场中继续摄玻能量，但波动不会立即消失。它们在原来海区继续传播，甚至传至其他海区，经过漫长路程和时间而慢慢消衰。此时的波动称为涌浪。

涌浪在传播过程中的显著特点是波高逐渐降低，波长、周期逐渐变大，从而波速变快。这一方面由于内摩擦作用使其能量不断消耗所致，另一方面是由于在传播过程中发生弥散和角散所致。

前已提及，实际的海浪可视为是由许多不同波长、不同周期和振幅的分波组成，这些组成部分在传播过程中，波长大的速度快，波长短的速度慢，于是使原来叠加在一起的波动分散开来，这种现象称为弥散。

又由于各个分波的传播方向也不尽一致，在传播过程中向不同方向分散开来，这种现象称为角散。正是由于上述种种原因使其波高不断降低。由于弥散，波速快、波长大的跑在前面，因此，传播距离越远，波长大、周期长的涌浪越占优势地位。但波高却变得更小，以致在海上难以看到它，然而当它传播到浅水或近岸时，波高又继而增大，波长减小，常常以波群的形式出现，形成猛烈的拍岸浪，表现出惊人的能量，它是冲蚀岸滩的活跃因子之一，对岸边建筑物破坏性很大，但到此也就结束了它的生命。

由于涌浪传播的速度很快，常在风暴系统到来之前先行到达。如果某地开始观测到周期很大而波高极小甚至极难察觉的涌浪到来，继而周期逐渐变小，浪高继续增大，则意味着风暴可能向本地袭来。因此人们把这种涌称为先行涌。有时甚至可在风暴到来之前几天内出现。

涌浪的传播距离十分惊人，据调查，北太平洋加利福尼亚西南沿岸，夏季缓缓而有力的拍岸浪，竟是由1×10^km 以外的南极大陆附近的大洋风暴产生的波动传播而来的涌浪所致。

涌浪在传播过程中比较准确地遵守 $c^{2}=g\lambda /2\pi$ 的关系，但传至近岸浅水时，更接近于长波的性质。

（2）浅海和近岸海浪

当波浪传至浅水及近岸时，由于水深及地形、岸形的变化，无论其波高、波长、波速及传播方向等都会产生一系列的变化。诸如波向的折射、波高增大从而能量集中，波形卷倒、破碎和反射、绕射等。对海岸工程、海岸地貌的变化均具有重大影响。

Ⅰ波速、波长的变化

由前讨论已知，波速、波长、水深的关系为

在深水中，

可见，当水深逐渐变浅时，其波速、波长都逐渐变小。

Ⅱ波向的折射

波浪传入浅水后，由于波速和地形的影响，导致波向发生转折。图6-16 中，设 EF 为等深线，两边的水深与波速分别为h₁ 、c₁ 与 h₂ 、cz,且h₁>hz,c₁>

c₂ 、等深线两边，两波向线的距离分别为AB 与A'B', 与等深线的交角分别为 α₁与 a₂ 。波浪经过 dt 时间后A 点移动了AA'=cidt 的距离，而 B 点移动了 BB'=czdt 的距离。

因为 c₁>c₂ 所以sinα₁>sinα₂,即α₁> az。说明波峰线 AB 由水深h₁ 跨过等

深线进入水深h₂ 的过程中，有逐渐与等深线平行的趋势，也就是波向线与等深线逐渐垂直的趋势。这正是在海岸上观察从外传来的波浪，到达近岸时波峰线总是大致与海岸平行的原因。不难推论，在海底凸出的海岬处，由于上述折射的原因，波向线产生辐聚，而在凹进的海岸处，波向线辐散，见图6-17。因此在海岬处常出现较大的波浪，而在海湾处相对较小。

Ⅲ、波高的变化

波浪传入浅水后的波高变化不但与水深、波速有关，而且与波向的折射也有密切关系。

设波浪传入浅水后的周期不变，两波向线铅直剖面间的能量守恒(不考虑由于摩擦因子引起的能量消耗)。因此，单位时间内跨过两波向线之间与其垂直的两断面的能量应该相等，即

EncL=E₀noc₀Lo

式中E 为单位水面下铅直水柱内的能量，L 为两波向线间的距离，nc=cg 为群速，为能量的传播速度。脚标“0”为深水情况。

因为波浪的能量与波高的平方成正比，即E/E₀=H²/HG,因此上式可改写为称为折射因子。当波向线辐聚时，Lo>L, 所以折射因子大于1,说明能

量集中，波高增大。当波向线辐散时，即Lo<L, 折射因子小于1,波高减小。射折因子的大小说明了由波向转折而引起波高变化的部分。为能量传播速度随水深的变化而对波高变化的影响因子。

综合上述两个因子对波高的影响，可见波浪传到近岸，波高的变化完全取决于能量的变化。一般而言，后者作用比前者大，但在海岬与海湾处，由于波向转折，其影响对波高变化生往起着明显的作用。

Ⅳ波浪的破碎、沿岸流与离岸流

在海洋中风大时，波陡达到一定值，波浪开始破碎。而当海浪传到浅水后，由于波长变短，波高增大，波陡迅速增大，波浪也可发生破碎。由于海底摩擦作用以及于波峰处，水深大，从而相速也大，而在波谷处，应于水深小，相速也小，导致波面变形。当波峰前的坡度很大时，便发生卷倒现象，在岸边形成拍岸浪，导致破碎。有时海洋中的浅滩，沙洲，暗礁区之上，波浪也常常出现破碎现象，此称为溢浪。有经验的航淘音对这种现象十分了解。

当波浪在近岸破碎时，能把相当多的水量带入破碎区，这些海水最终会经过破碎带重新返回到海洋中，从而形成了所谓的离岸流。尽管所维持的时间往往只有几分钟，所涉及的距离只有破碎带的2～8倍，但其流速却相当大，有时可达 1.5m/s 以上，海滨的游泳者可明显的感觉到。海岸和海底形状影响着离岸流的分布情况，对于平直且海底坡度大致相同的海岸，所形成的离岸流大致是等距的。离岸流之间顺岸边的流动称为沿岸流。在海岸弯曲的岸边如海岬处，波浪辐聚，水量增多，它们沿海岬两边向海湾处流动，离岸流往往在湾的中部形成。沿岸流与离岸流，对海岸泥沙的搬运起着重要作用。

Ⅴ反射与绕射

当波浪遇到比较陡峭的海岸时，会发生反射而形成驻波，在港湾、码头常会见到这种情况，但范围不会太大。当波浪遇到障碍物时，例如岛屿、海岬、防波堤等，它可以绕到障碍物遮挡的后面水域去，这种现象称为绕射。当然，由于能量的侧向扩散，所以绕射后的波高明显减小。假如绕射前的波高为 H₀，绕射后的波高为H，则 K=H/H₀或 H=KH₀，K称为绕射系数，它可以通过模拟实验得到，以便为一些海岸工程提供依据。

（3）海浪的随机性与海浪谱

海面上的波浪高低不等，长短不齐，此起彼伏，瞬息万变，杂乱无章，似无规律可循。利用简单波动的理论已无法说明它。

但早在50年代初，人们就采用了将海浪视为由许多振幅、频率、方向、位相不同的简单波动叠加这一观点和方法，对海浪进行研究。规定这些简单波动的振幅或位相是随机量，从而叠加的结果也是随机的。

海浪的总能量 E 是由全部各组成波提供的，其中频率为a 的组成波所提供的能量，以其相当量 S(a) 表示，故 S(a) 代表海浪中能量相对于组成波频率σ 的分布。它被称为海浪频谱或能谱。由于组成波的传播方向不同，因此不同组成波的能量以 S(o,θ) 或 F(o,θ) 来描述，有时称其为方向谱。

海浪谱的具体表达形式不少，它们多是半理论、半经验的，是借助于各种观测方法获得的海面起伏资料，经过谱分析后所得到的一些 S(o) 隨σ的分布曲线，然后对这些曲线进行拟合而给出数学表达式。

不同风速下充分成长的 P-M谱。其特点是风速愈大，谱形曲线下的面积愈大，即总能量愈大，能量显著部分的位置向低频方向移动，说明海面的波高与周期亦隨风速的增大而增大；曲线上的任一点都对应频率为σ的组成波应具有的能量，能量的显著部分集中在某一频率范围内。

著名物理海洋学家、中国科学院院士文圣常教授等通过理论研究，提出了理论风浪谱模型，它在我国的海洋石油开发、航运、海岸工程、国防和海浪预报等工作中被广泛采用。1990年又提出了改进的理论风浪谱，经实验检验、试报，效果良好。另外还有人从海浪能量外观分布的观点出发，提出了外频谱。但此谱与通常的海浪谱在概念上是不同的。

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海洋科学—物理海洋学 第六章 海洋中的波动现象