多属性决策模型简介
多属性决策是现代决策科学的一个重要组成部分，它的理论和方法在工程设计、经济、管理和军事等诸多领域中有着广泛的应用，如：投资决策、项目评估、维修服务、武器系统性能评定、工厂选址、投标招标、产业部门发展排序和经济效益综合评价等．多属性决策的实质是利用已有的决策信息通过一定的方式对一组(有限个)备选方案进行排序或择优．
它由两部分组成
- 获取决策信息，属性权重和属性值。
- 通过一定的方法对决策信息进行排序或择优。
信息集结的方法
- 加权算术平均算子（WAA）
- 加权几何平均算子（WGA）
- 有序加权平均算子（OWA）
其中的加权算术平均算子最为重要，只对该算子进行讨论
设函数 W A A : R n → R WAA:R^n\rightarrow R WAA:Rn→R若
W A A w ( a 1 , a 2 , ⋯ , a n ) = ∑ i = 1 n w i a i WAA_{w}(a_1,a_2,\cdots,a_n)=\sum_{i=1}^{n}w_ia_i WAAw(a1,a2,⋯,an)=i=1∑nwiai
其中 w ( w 1 , w 2 , ⋯ , w n ) w(w_1,w_2,\cdots,w_n) w(w1,w2,⋯,wn)是 a ( a 1 , a 2 , ⋯ , a n ) a(a_1,a_2,\cdots,a_n) a(a1,a2,⋯,an)的权重， w i ∈ [ 0 , 1 ] , 1 ≤ i ≤ n , ∑ i = 1 n w i = 1 w_i\in[0,1],1\leq i \leq n,\sum_{i=1}^{n}w_i=1 wi∈[0,1],1≤i≤n,∑i=1nwi=1
则称函数WAA为加权算术平均算子。
但一般来说，属性值的量纲一般不同，例如：衡量一个企业的指标有：
产值（万），投资成本（万），销售额（万），国家收益比重，环境污染程度。
不同的衡量标准使得决策矩阵不统一，因此归一化决策矩阵是十分必要的。
属性值的归一化
属性值类型
- 效益型：属性值越大越好
- 成本型：属性值越小越好
- 固定型：属性值越接近某个固定值 α i \alpha_i αi越好。
- 偏离型：属性值越偏离某个固定值 β j \beta_j βj越好。
- 区间型：属性值越接近某个固定区间 [ q i , q j ] [q^i,q^j] [qi,qj]越好。
- 偏离区间型：属性值越偏离某个固定区间 [ q i , q j ] [q^i,q^j] [qi,qj]越好。
各类属性值归一化的公式如下：
效益型
r i j = a i j m a x a i j o r r i j = a i j − m i n a i j m a x a i j − m i n a i j r_{ij}=\frac{a_{ij}}{max \, a_{ij}} \;or\; r_{ij}=\frac{a_{ij}-min\,a_{ij}}{max\,a_{ij}-min\,a_{ij}} rij=maxaijaijorrij=maxaij−minaijaij−minaij
成本型
r i j = m i n a i j a i j o r r i j = m a x a i j − a i j m a x a i j − m i n a i j r_{ij}=\frac{min\,a_{ij}}{a_{ij}}\;or\;r_{ij}=\;\frac{max\,a_{ij}-a_{ij}}{max\,a_{ij}-min\,a_{ij}} rij=aijminaijorrij=maxaij−minaijmaxaij−aij
固定型
r i j = 1 − a i j − α i m a x ∣ a i j − α i ∣ r_{ij}=1-\frac{a_{ij}-\alpha_{i}}{max\,\lvert a_{ij}-\alpha_{i}\rvert} rij=1−max∣aij−αi∣aij−αi
偏离型
r i j = ∣ a i j − β j ∣ − m i n ∣ a i j − β ∣ m a x ∣ a i j − β ∣ − m i n ∣ a i j − β ∣ r_{ij}=\lvert a_{ij}-\beta_j\lvert-\frac{min\,\lvert a_{ij}-\beta\lvert}{max\,\lvert a_{ij}-\beta\lvert-min\,\lvert a_{ij}-\beta\lvert} rij=∣aij−βj∣−max∣aij−β∣−min∣aij−β∣min∣aij−β∣
区间型
r i j = { 1 − m a x ( q 1 j − a i j , a i j − q 2 j ) m a x ( q 1 j − m i n a i j , m a x a i j − q 2 j ) a ∉ [ q 1 j , q 2 j ] 1 a ∈ [ q 1 j , q 2 j ] r_{ij}= \begin{cases} 1-\frac{max\,(q_1^j-a_{ij},a_{ij}-q_2^j)}{max(q_1^j-min\,a_{ij},max\,a_{ij}-q_2^j)}a \notin[q_1^j,q_2^j] \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;a \in[q_1^j,q_2^j]\\ \end{cases} rij=⎩⎨⎧1−max(q1j−minaij,maxaij−q2j)max(q1j−aij,aij−q2j)a∈/[q1j,q2j]1a∈[q1j,q2j]
偏离区间型
r i j = { m a x ( q 1 j − a i j , a i j − q 2 j ) m a x ( q 1 j − m i n a i j , m a x a i j − q 2 j ) a ∉ [ q 1 j , q 2 j ] 0 a ∈ [ q 1 j , q 2 j ] r_{ij}=\begin{cases} \frac{max\,(q_1^j-a_{ij},a_{ij}-q_2^j)}{max(q_1^j-min\,a_{ij},max\,a_{ij}-q_2^j)}\;\;\;\;\;\;a \notin[q_1^j,q_2^j] \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;a \in[q_1^j,q_2^j]\\ \end{cases} rij=⎩⎨⎧max(q1j−minaij,maxaij−q2j)max(q1j−aij,aij−q2j)a∈/[q1j,q2j]0a∈[q1j,q2j]
解题一般步骤
- 归一化处理决策矩阵。
- 利用
层次分析法得到相应的权重。 - 计算各个对象的得分选出得分最高的为最优决策。
局限性
与之前的层次分析法一样，它的不足之处在于：
- 不能为决策提供新方案
- 定量数据较少，定性成分多，不易令人信服
- 指标过多时，数据统计量大，且权重难以确定
- 特征值和特征向量的精确求法比较复杂
因此，建议建模时只用于解决某些小问题，而不要作为大题的思路。
今天的文章 数学建模——多属性决策模型分享到此就结束了，感谢您的阅读。
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