一、开头

神犇MX：考你一道很水很水的题：一个$n$个节点$m$条边的森林，每个节点有权值。有$Q$个操作，每个操作可以修改一个节点的权值，或者询问森林中两点之间的路径上的点权之和。$m<n\leq 10^5$且$Q\leq 10^5$。
xyz32768：树……树……树剖？
神犇MX：哈哈，我忘了说一个条件：每个操作除了上面我说的两个类型之外，还有加边和删边操作。
xyz32768：那……我仿佛只会$O(Qn)$了。
神犇MX：呵，你总算承认我比你强了，像你这样连LCT都不会的，就等着NOI爆0吧。LCT不就是用个Splay来……
xyz32768：LCT？Splay？完了，我NOI2019真的要爆0了。

二、引入

动态树LCT（Link Cut Tree）就是用来解决动态维护森林结构的问题，如开头中神犇MX提出的问题。相对于树剖，LCT能够支持动态加边和删边的操作。树剖的主要思想是将树剖分成若干条链，然后用线段树等数据结构维护重链。LCT的思想和树剖一样，也是将树剖分成若干条链，但是由于需要将链动态地改变，所以LCT使用了Splay维护链。

三、实边、虚边、实链

和树剖一样，在LCT中，把树边分为实边和虚边两种，如果边$(u,v)$为实边，则$v$是$u$的实儿子。一个节点最多只有一个实儿子（也有可能没有）。在LCT中，实边和虚边是不断改变的。
实链：树中全部由实边构成的极长链。可以看出，实链中节点的深度是从上往下递增的。极长是指：对于实链中深度最小的节点$u$，$u$为根节点或者$u$连接$u$的父节点的边是虚边，并且对于实链中深度最小的节点$v$，$v$为叶子节点或者$v$连接$v$的子节点的边全部为虚边。

四、用Splay维护实链

在任何时候，树中的实链有几条，用来维护实链的Splay就有几棵，并且一棵Splay维护对应的一条实链。Splay维护实链的关键字为节点在树中的深度，也就是对于任意节点$u$，在Splay中$u$的左子树中所有节点在树中的深度都小于$u$在树中的深度，$v$的右子树中所有节点在树中的深度都大于$u$在树中的深度。
同时，每条实链都有一个父亲，也就是实链中深度最小的节点的父亲。但是在Splay中，不必要显示维护出每条实链的父亲。也就是说每棵Splay的根节点的父亲，并不需要将其置为$0$，而是置为该实链的父亲。

五、基本操作

1、Access

$Access(u)$是LCT中最重要的操作，作用是从节点$u$到根节点，构造出一条实链。
步骤1：如果节点$u$有实儿子$v$，则将$(u,v)$变成虚边。也就是在Splay中，将节点$u$旋转到根，并分离$u$与$u$的右子树，这样就将$(u,v)$变为了虚边。同时，在将$(u,v)$变成虚边之后，节点$v$所在的实链的父亲为$u$。然后转步骤3。
步骤2：设$v$为$u$所在的实链的父亲。这时候就在Splay中将$v$旋转到根，用$u$所在的Splay替换$v$的右子树，这样就将$u$所在的实链和$v$所在的实链合并了。然后分离$v$原来的右子树（记为$w$），此时$w$所在实链的父亲即为$v$，然后转步骤3。
步骤3：如果$u$所在的实链包含根节点，则操作结束。否则转步骤2。
代码实现很短：

void Access(int x) { int y; for (y = 0; x; y = x, x = fa[x]) { splay(x); rc[x] = y; if (y) fa[y] = x; } }

2、MakeRoot

$MakeRoot(u)$即将$u$作为所在树的根节点。可以看出，这个操作等价于将$u$到根节点的路径上的所有树边上的方向取反。这时候就要通过在Splay上维护一个标记$rev$来实现。也就是先执行$Access(u)$并在Splay中将$u$旋转到根，然后在节点$u$打上翻转标记。代码：

void Make_Root(int x) { Access(x); splay(x); rev[x] ^= 1; }

六、常用操作

1、FindRoot

$FindRoot(u)$即询问$u$所在子树的根节点。首先执行$Access(u)$。这样$u$所在子树的根节点就是$u$所在的Splay中关键码（在树中的深度）最小的节点。也就是将节点$u$旋转到对应Splay的根节点之后，结果就是对应Splay中的最左节点。代码实现：

int Find_Root(int x) { Access(x); splay(x); while (down(x), lc[x]) x = lc[x]; splay(x); return x; }

2、Link

$Link(u,v)$即连边$(u,v)$。方法很简单：首先执行$MakeRoot(u)$，然后将$u$所在实链的父亲置为$v$。

void Link(int x, int y) { Make_Root(x); fa[x] = y; }

3、Cut

$Cut(u,v)$即删边$(u,v)$。方法就是首先分别执行$MakeRoot(u)$和$Access(v)$，然后在Splay中将节点$v$旋转到根，这时候$u$一定是$v$的左子节点。这时在Splay中分离$v$和$v$的左子树，就删掉了边$(u,v)$。

void Cut(int x, int y) { Make_Root(x); Access(y); splay(y); lc[y] = 0; fa[x] = 0; }

4、Select

$Select(u,v)$即提取从$u$到$v$的路径，以便进行路径打标记，路径查询操作。首先执行$MakeRoot(u)$和$Access(v)$，然后在Splay中将节点$v$旋转到根。这样$u$所在的Splay就包含了$u$到$v$的路径上的所有点。也就是提取出了$u$到$v$的路径。
以询问路径长度为例：

int Select(int x, int y) { Make_Root(x); Access(y); splay(y); return sze[y]; }

七、BZOJ 2049代码

#include <cmath> #include <cstdio> #include <cstring> #include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; inline int read() { int res = 0; bool bo = 0; char c; while (((c = getchar()) < '0' || c > '9') && c != '-'); if (c == '-') bo = 1; else res = c - 48; while ((c = getchar()) >= '0' && c <= '9') res = (res << 3) + (res << 1) + (c - 48); return bo ? ~res + 1 : res; } inline char get() { char c; while ((c = getchar()) != 'C' && c != 'D' && c != 'Q'); return c; } const int N = 5e4 + 5; int n, Q, fa[N], lc[N], rc[N], rev[N], que[N], len; int which(int x) { 
  
    
  return rc[fa[x]] == x;} bool is_root(int x) { //判断一个节点在Splay中否为根 return !fa[x] || (lc[fa[x]] != x && rc[fa[x]] != x); } void down(int x) { //标记下放 if (rev[x]) { swap(lc[x], rc[x]); if (lc[x]) rev[lc[x]] ^= 1; if (rc[x]) rev[rc[x]] ^= 1; rev[x] = 0; } } void rotate(int x) { int y = fa[x], z = fa[y], b = lc[y] == x ? rc[x] : lc[x]; if (z && !is_root(y)) (lc[z] == y ? lc[z] : rc[z]) = x; fa[x] = z; fa[y] = x; b ? fa[b] = y : 0; if (lc[y] == x) rc[x] = y, lc[y] = b; else lc[x] = y, rc[y] = b; } void splay(int x) { int i, y; que[len = 1] = x; for (y = x; !is_root(y); y = fa[y]) que[++len] = fa[y]; for (i = len; i >= 1; i--) down(que[i]); //标记下放 while (!is_root(x)) { if (!is_root(fa[x])) { if (which(x) == which(fa[x])) rotate(fa[x]); else rotate(x); } rotate(x); } } void Access(int x) { int y; for (y = 0; x; y = x, x = fa[x]) { splay(x); rc[x] = y; if (y) fa[y] = x; } } int Find_Root(int x) { Access(x); splay(x); while (down(x), lc[x]) x = lc[x]; splay(x); return x; } void Make_Root(int x) { Access(x); splay(x); rev[x] ^= 1; } void Link(int x, int y) { Make_Root(x); fa[x] = y; } void Cut(int x, int y) { Make_Root(x); Access(y); splay(y); lc[y] = 0; fa[x] = 0; } int main() { int i, x, y; n = read(); Q = read(); char op; while (Q--) { op = get(); x = read(); y = read(); if (op == 'C') Link(x, y); else if (op == 'D') Cut(x, y); else printf(Find_Root(x) == Find_Root(y) ? "Yes\n" : "No\n"); } return 0; }

八、扩展：LCT维护子树信息（补充中）

九、其他技巧

1、LCT动态维护最小生成树

给出一个边带权图，操作有$2$种：1、增加一条边；2、求图的最小生成树。这时候就可以考虑使用LCT维护最小生成树。由于要维护边权，所以要在LCT中，把边抽象为点。考虑加入一条边$(u,v)$，如果在当前的LCT中$u$和$v$不互相连通，那么直接连边$(u,v)$，否则在$u$到$v$的路径上，贪心地选择一条权值最大的边断开，再连边$(u,v)$。

2、LCT建虚点（补充中）

十、题目

按照个人认为的难度排序：
1、[BZOJ2049][SDOI2008]洞穴勘测：
http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2049
2、[BZOJ2002][HNOI2010]弹飞绵羊：
http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2002
3、[BZOJ3669][NOI2014]魔法森林：
http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3669
4、[BZOJ2816][ZJOI2012]网络：
http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2816
5、[BZOJ4825][HNOI2017]单旋：
http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4825
6、[BZOJ4817][SDOI2017]树点涂色：
http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4817
7、[BZOJ4573][ZJOI2016]大森林：
http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4573