前言
在求二函数的重极限时, 极坐标代换法被很多人称为"万能解法", 很多教科书上也不加证明的直接使用了极坐标代换. 但也有人认为这种方法"不严谨", 不能满足"任意路径趋近".
为什么有人说极坐标代换万能? 为什么又有人说这东西不严谨?
哪有什么严谨不严谨, 对就是对, 不对就是不对, 今天这篇文章就全给你讲明白了.
认真读完这篇文章, 你可以完全理解并掌握求解二重极限的通法, 从此求重极限就像喝水一样自然.
哪里出现了问题?
很多老师说过, 使用极坐标代换, 将二函数的极限转换成了一函数的极限, 非常方便求解.
我们先来看这样一道例题:
例
解
那么, 问题出在哪里了呢?
在定义里寻找答案
很多人认为极坐标代换实际上只是沿直线趋近, 没有沿曲线趋近, 不满足"沿任意路径趋近", 所以会出错.[1][2]
刘继英.用极坐标代换法求二重极限应满足的条件[J].辽宁师专学报(自然科学版),2006(01):3.
知乎文章《二重极限的最强解法——极坐标代换法！！！》评论区
事实真是如此吗? 什么叫"沿任意路径"?
这种说法本身就非常模糊. 我们不可能列举出所有的曲线路径, 合着重极限就不能直接求了是吧.
我们来仔细看看重极限的定义.
定义[3]
极坐标代换的使用条件
刚才的讨论得到了极坐标代换的使用条件：
显然只要满足了这个条件, 那么x就可以取到开圆里的任意一个点.
详细的证明见下图:[4]
许召春.关于利用极坐标换法求二重极限的思考[J].科技信息,2009(31):243.
小结
现在我们重新看一下开头的那道例题, 究竟是哪里出现了问题呢?
错解
练习题
练习1
方法总结
第一步, 极坐标代换, 化简.
第二步, 检查
能否任意取值, 若能, 得到答案; 若不能, 取特殊曲线得出重极限不存在.
能否任意取值, 若能, 得到答案; 若不能, 取特殊曲线得出重极限不存在.参考
- ^刘继英.用极坐标代换法求二重极限应满足的条件[J].辽宁师专学报(自然科学版),2006(01):3.
- ^https://zhuanlan.zhihu.com/p/
- ^薛玉梅, 苑佳等. 工科数学分析(下册). [M]. 北京航空航天大学出版社, 2020.
- ^许召春.关于利用极坐标换法求二重极限的思考[J].科技信息,2009(31):243.
原文来自 ——
求二重极限时, 极坐标代换究竟该怎么用? - 知乎
今天的文章 高数 | 【多函数微分学】多函数求极限 使用极坐标代换的条件与细节分享到此就结束了，感谢您的阅读。
版权声明：本文内容由互联网用户自发贡献，该文观点仅代表作者本人。本站仅提供信息存储空间服务，不拥有所有权，不承担相关法律责任。如发现本站有涉嫌侵权/违法违规的内容， 请发送邮件至 举报，一经查实，本站将立刻删除。
如需转载请保留出处：https://bianchenghao.cn/bian-cheng-ji-chu/104271.html