复合函数

前言

复合函数是高中数学中的一大难点，那么什么是复合函数呢？就像我们学习集合的交集运算时，有 $A\cap(B\cap C)$ 一样(求完交集再求交集)，由 $x\rightarrow g(x)$ (对应)，再由 $g(x)\rightarrow f[g(x)]$ (对应完后再对应)，这样我们得到的函数 $y = f [g (x)]$ 就是复合函数。

复习准备

基本初等函数，可以类比原子是构成物质的最基本的不可再分的微粒一样，来理解基本初等函数和其他函数的关系。高中阶段所学习的函数中，只有前五种基本初等函数，需要学生切实掌握。第六种现在不需要学生学习。

①常函数 $f (x) = c (c$ 为常数) ；

②幂函数 $f(x)=x^{\alpha}$ ；

③指数函数 $f(x)=a^x(a>0$ 且 $a\neq 1)$ ；

④对数函数 $f(x)=log_ax(a>0$ 且 $a\neq 1)$ ；

⑤三角函数 $f (x) = s in x$ 或 $f (x) = cos x$ ；

⑥反三角函数 $f(x)=arcsinx，x\in[-\cfrac{\pi}{2}，\cfrac{\pi}{2}]$ 等，

初等函数：由基本初等函数经过四则运算所构成的函数。如一次函数，二次函数等。比如，一次函数 $f(x)=kx+b(k\neq 0)$ ，其实是常函数 $y = k$ 与幂函数 $y = x$ 相乘，再与常函数 $y = b$ 求和得到的；比如，指数型函数 $y=3\cdot 2^x+1$ ，其实是常函数 $y = 3$ 与指数函数 $y=2^x$ 相乘，再与常函数 $y = 1$ 求和得到的。

高中阶段涉及到的复合函数，一般就由以上的基本初等函数或初等函数复合而成。为控制难度，一般大多只复合一次。

定义：设函数 $y = f (u)$ 和 $u = g (x)$ ，则函数 $y = f [g (x)]$ 称为由 $y = f (u)$ 和 $u = g (x)$ 复合而成的复合函数，其中函数 $y = f (u)$ 常常称为外函数，函数 $u = g (x)$ 常常称为内函数，其中内函数的值域必须是外函数的定义域的子集。

如何拆分

有时候，我们却需要将复合函数拆分开，以便于解决相应的问题。此时我们应该注意，要尽可能将函数拆分为为基本初等函数或初等函数。比如，给定函数如 $y=(\cfrac{1}{2})^{2x^2+3x-1}$ ，我们就拆分为 $y=(\cfrac{1}{2})^u$ 和 $u=2x^2+3x-1$ 两个函数。

典例剖析

涉及复合函数+抽象函数的定义域，需要注意以下几点：

①比如 $f (x)$ 与 $f (x + 2)$ 和 $f(2^x-3)$ 中，由于自变量 $x$ 与 $x + 2$ 和 $2^x-3$ (此处需要将 $x + 2$ 和 $2^x-3$ 分别看成一个整体对待，比如 $t = x + 2$ 或 $t=2^x-3$ )接受同样的对应关系的作用，故所受的限制应该是一样的，即三个自变量(或自变量的整体)的取值范围应该是一样的；举个实际例子，三个自变量 $x$ 与 $x + 2$ 和 $2^x-3$ 就类似一个班级里的某个单个人，某个小组，某个组织等，它们都应该接受这个班级的纪律约束(就类似对应关系 $f$ )一样.

②已知定义域或求解定义域都是针对单独的自变量 $x$ 而言。

已知函数 $f (x)$ 的定义域是 $[- 1 ， 1]$ ，求函数 $f (2 x + 1)$ 的定义域；

分析：解决这类题目需要牢牢抓住两点：其一接受对应法则 $f$ 作用的 $x$ 和 $2 x + 1$ 是处于对等位置的，其二不论是给定函数的定义域还是求解函数的定义域，都是针对单独的自变量 $x$ 而言，

据此可知由于 $-1\leq x\leq 1$ ，

故 $-1\leq 2x+1\leq 1$ ，解得 $x\in [-1，0]$ ，

故复合函数 $f (2 x + 1)$ 的定义域是 $x\in [-1，0]$ 。

已知函数 $f (x + 1)$ 的定义域是 $[0 ， 1]$ ，求函数 $f(2^x-2)$ 的定义域。

分析：这里同样你得清楚 $x + 1$ 和 $2^x-2$ 是对等的，

先由 $x\in[0，1]$ ，计算得到 $1\leq x+1\leq 2$ ，故 $1\leq 2^x-2\leq 2$ ，

解得 $3\leq 2^x\leq 4$ ，同时取以2为底的对数得到 $log_2^3\leq x\leq 2$ ，

则所求定义域是 $x\in [log_2^3，2]$ 。

已知函数 $f (2 x + 1)$ 的定义域是 $[- 1 ， 1]$

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