8.三角函数
（1）常见的放缩
x − x 3 6 ≤ sin x ≤ x ( x ≥ 0 ) cos x ≥ 1 − 1 2 x 2 ( x ∈ R ) \begin{aligned}&x-\frac{x^3}{6} \leq \sin x\leq x(x \geq 0) \\\\ &\cos x\geq1-\frac 1 2 x^2(x\in \R)\\ \\ \end{aligned} x−6x3≤sinx≤x(x≥0)cosx≥1−21x2(x∈R)
[证明]：令 u ( x ) = x − sin x ( x ≥ 0 ) u(x)=x-\sin x(x\geq0) u(x)=x−sinx(x≥0)
u ′ ( x ) = 1 − cos x ≥ 0 , u ( x ) ≥ u ( 0 ) = 0 u'(x)=1-\cos x\geq 0,u(x)\geq u(0)=0 u′(x)=1−cosx≥0,u(x)≥u(0)=0，于是 x ≥ sin x ( x ≥ 0 ) x\geq \sin x(x\geq0) x≥sinx(x≥0)
考虑到 t ≥ 0 t\geq0 t≥0时 u ( t ) ≥ 0 u(t)\geq 0 u(t)≥0，于是：
∫ 0 x u ( t ) d t = ∫ 0 x ( t − sin t ) d t = [ 1 2 t 2 + cos t ] t = x − [ 1 2 t 2 + cos t ] t = 0 = 1 2 x 2 + cos x − 1 ≥ 0 \begin{aligned} \int_0^xu(t)dt&=\int_0^x(t-\sin t)dt\\ &=[\frac 1 2t^2+\cos t]_{t=x}-[\frac 1 2t^2+\cos t]_{t=0}\\ &=\frac{1}{2}x^2+\cos x-1\geq0 \end{aligned} ∫0xu(t)dt=∫0x(t−sint)dt=[21t2+cost]t=x−[21t2+cost]t=0=21x2+cosx−1≥0
于是： cos x ≥ 1 − 1 2 x 2 ( x ≥ 0 ) \cos x\geq 1-\frac 1 2x^2(x\geq 0) cosx≥1−21x2(x≥0)
由偶函数的对称性可知 x < 0 x<0 x<0时，也有 cos x ≥ 1 − 1 2 x 2 ( x ≥ 0 ) \cos x\geq 1-\frac 1 2x^2(x\geq 0) cosx≥1−21x2(x≥0)
从而： cos x ≥ 1 − 1 2 x 2 ( x ∈ R ) \cos x\geq 1-\frac 1 2x^2(x\in \R) cosx≥1−21x2(x∈R)
令 p ( x ) = cos x + 1 2 x 2 − 1 ≥ 0 p(x)=\cos x +\frac 1 2x^2-1\geq0 p(x)=cosx+21x2−1≥0
同理：
∫ 0 x p ( t ) d t = sin x + 1 6 x 3 − x ≥ 0 \int_0^x p(t)dt=\sin x+\frac{1}{6}x^3-x\geq0 ∫0xp(t)dt=sinx+61x3−x≥0
于是：
sin x ≥ x − 1 6 x 3 ( x ≥ 0 ) \sin x\geq x-\frac 1 6x^3(x\geq0) sinx≥x−61x3(x≥0)
证毕。
（2）练习
P r a . 8.1 Pra.8.1 Pra.8.1
已知函数 f ( x ) = sin x + x 3 6 − m x . f(x)=\sin x+\frac{x^3}{6}-mx. f(x)=sinx+6x3−mx.
（1）若 f ( x ) f(x) f(x)在 [ 0 , + ∞ ) [0,+\infty) [0,+∞)上单增，求实数 m m m的取值范围；
（2）若对于 ∀ x ∈ [ 0 , + ∞ ) \forall x\in[0,+\infty) ∀x∈[0,+∞)，不等式
sin x − cos x ≤ e a x − 2 \sin x-\cos x \leq e^{ax}-2 sinx−cosx≤eax−2
恒成立，求 a a a的取值范围.
- S o l u t i o n Solution Solution：见指对同构，用到放缩 x − sin x ≥ 0 ( x ≥ 0 ) x-\sin x\geq 0(x\geq0) x−sinx≥0(x≥0)
P r a . 8.2 Pra.8.2 Pra.8.2[2020年全国II卷]
已知函数 f ( x ) = sin 2 x sin 2 x f(x)=\sin^2x\sin2x f(x)=sin2xsin2x.
（1）讨论 f ( x ) f(x) f(x)在区间 ( 0 , π ) (0,\pi) (0,π)的单调性；
（2）证明： ∣ f ( x ) ∣ ≤ 3 3 8 \lvert f(x)\rvert\leq \frac{3\sqrt3}{8} ∣f(x)∣≤833；
（3）设 n ∈ N ∗ n\in N^* n∈N∗，证明：
sin 2 x ⋅ sin 2 2 x ⋅ sin 2 4 x . . . ⋅ sin 2 2 n x ≤ 3 n 4 n sin 2 x ⋅ sin 2 2 x ⋅ sin 2 4 x . . . ⋅ sin 2 2 n x ≤ 3 n 4 n \sin^2x\cdot \sin^22x\cdot \sin^24x...\cdot \sin^22^nx\leq \frac{3^n}{4^n}\sin^2x\cdot \sin^22x\cdot \sin^24x...\cdot \sin^22^nx\leq \frac{3^n}{4^n} sin2x⋅sin22x⋅sin24x...⋅sin22nx≤4n3nsin2x⋅sin22x⋅sin24x...⋅sin22nx≤4n3n
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