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连续 — 高等数学

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连续 — 高等数学文章目录考点一 函数的连续性定义类型一 判断连续性类型二 已知连续 反求未知参数笔记考点二 函数的间断点定义分类笔记 难 考点三 利用零点定理证明根的存在性零点定理解题步骤笔记考点一 函数的连续性定义类型一 判断连续性类型二 已知连续 反求未知参数笔记连续就是极限值等于该点函数值 我们就可以认为它是连续的连续成立的三个条件 1 f x 在 x0 的某领域内有定义 2 x x0 limf x 存在 极限连续 3 x x0 limf x f x0 极限相等 高数连续

文章目录

考点一：函数的连续性

定义

定理

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类型一：判断连续性

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类型二：已知连续，反求未知参数

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笔记

  1. 连续就是极限值等于该点函数值，我们就可以认为它是连续的
  2. 连续成立的三个条件：
    (1)f(x)在x0的某领域内有定义；
    (2)x->x0,limf(x)存在；（极限连续）
    (3)x->x0,limf(x)=f(x0)（极限相等）

考点二：函数的间断点

定义

分类

（1）第一间断点
可去间断点
跳跃间断点
（2）第二间断点
无穷间断点
振荡间断点

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笔记

  1. x’ = 1（解析）

  2. sinx/x = 1（解析）

  3. 若分母为0则极限无定义

  4. x→2分之π，若tanx为分母，则tanx = ∞

  5. x→∞，x=0（解析）

  6. 间断点的判断标准
    无定义的点一定是间断点
    分段函数的分段点可能是间断点

  7. 1/∞=0（解析）

  8. 1/0=∞（解析）

  9. 若 tanx=0，则 x=kπ

  10. 求间断点类型，实际上就是求极限的值

  11. 洛必达法则（解析）

  12. ∞/n 或者 n/∞，结果都为：∞

（☆难）考点三：利用零点定理证明根的存在性

零点定理

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解题步骤

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笔记

  1. ‘∃’这个符号指的是：存在
  2. 碰到具体函数，写显然连续
  3. 碰到抽象函数，写因为连续，所以连续
  4. 如果 ξ ∈ (0,1)直接解即可，但 ξ ∈ [0,1) 或者 ξ ∈(0,1] 再或者 [0,1]这种情况就要分开讨论了，题型难度也会提升很多
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