一、全微分定义
1.1、偏增量与偏微分
1.2、全增量
1.3、全微分定义：用自变量增量 Δ x , Δ y \Delta x,\Delta y Δx,Δy的线性函数近似代替全增量 Δ z \Delta z Δz
- Δ z = f ( x + Δ x , y + Δ y ) − f ( x , y ) \Delta z = f(x+\Delta x, y+\Delta y )-f(x, y) Δz=f(x+Δx,y+Δy)−f(x,y)
- 线性函数代替 Δ z = A Δ x + B Δ y + o ( ρ ) \Delta z=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho) Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)
- A， B 不依赖于 Δ x , Δ y \Delta x,\Delta y Δx,Δy，只和x，y有关
- ρ = ( Δ x ) 2 + ( Δ y ) 2 \rho = \sqrt { (\Delta x) ^2+(\Delta y)^2} ρ=(Δx)2+(Δy)2
- 为了同时兼顾 Δ x , Δ y \Delta x,\Delta y Δx,Δy，
- 而且 ρ → 0 ⇔ ( x , y ) → ( 0 , 0 ) \rho \rightarrow 0 \Leftrightarrow(x, y)\rightarrow(0,0) ρ→0⇔(x,y)→(0,0)
- 全微分： d z = A Δ x + B Δ y dz=A\Delta x+B\Delta y dz=AΔx+BΔy
1.3.1、两个常数，不是任意值，而是偏导数
因为 Δ z = f ( x + Δ x , y + Δ y ) − f ( x , y ) \Delta z = f(x+\Delta x, y+\Delta y) - f(x,y) Δz=f(x+Δx,y+Δy)−f(x,y)
当 Δ x = 0 , 则 Δ z = f ( x , y + Δ y ) − f ( x , y ) \Delta x=0, 则 \Delta z = f(x,y+\Delta y)-f(x,y) Δx=0,则Δz=f(x,y+Δy)−f(x,y)，根据一元函数微分学导数与微分关系可知：
Δ z = f y ′ ( x , y ) Δ y ( 1 ) 式 \Delta z = f_{y}^{'}(x, y)\Delta y \qquad\qquad\qquad\quad(1)式 Δz=fy′(x,y)Δy(1)式
又因为全微分定义： Δ z = A Δ x + B Δ y + o ( ρ ) \Delta z = A\Delta x+B\Delta y + o(\rho) Δz=AΔx+BΔy+o(ρ), Δ x = 0 时 \Delta x=0时 Δx=0时 则：
Δ z = B Δ y + o ( ∣ Δ y ∣ ) ( 2 ) 式 \Delta z=B\Delta y+o(|\Delta y|) \qquad\qquad\qquad(2)式 Δz=BΔy+o(∣Δy∣)(2)式
(1)式等于(2)式，所以 f y ′ ( x , y ) Δ y = B Δ y f_{y}^{'}(x, y)\Delta y = B\Delta y fy′(x,y)Δy=BΔy
同理： Δ y = 0 时 ， f x ′ ( x , y ) Δ x = A Δ x \Delta y=0时，f_{x}^{'}(x, y)\Delta x = A\Delta x Δy=0时，fx′(x,y)Δx=AΔx
两个常数，不是任意值，而是偏导数
1.3.2、可微与连续的关系： 可微则函数必连续
1.4、可微的条件
1.4.1、可微的必要条件
1.4.1.1、偏导存在只是可微的必要而非充分条件
- 一元函数的导数存在是微分存在的充要条件
1.4.2、可微的充分条件： 偏导函数连续
1.4.2.1、证明
1.5、微分条件的推广到多元
二、全微分在近似计算中应用
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