【方法总结：裂项相消求和法】
[1] 相邻两个正整数乘积和
1×2＋2×3＋3×4＋。。。＋n×(n+1)
= (1/3)×[1×2×3 - 0×1×2]
＋(1/3)×[2×3×4 - 1×2×3]
＋(1/3)×[3×4×5 - 2×3×4]
＋。
。。
＋(1/3)×[n×(n+1)×(n+2) - (n-1)×n×(n+1)]
= (1/3)×n×(n+1)×(n+2)
[2] 相邻三个正整数乘积和
1×2×3＋2×3×4＋3×4×5＋。。。＋n×(n+1)×(n+2)
= (1/4)×[1×2×3×4 - 0×1×2×3]
＋(1/4)×[2×3×4×5 - 1×2×3×4]
＋(1/4)×[3×4×5×6 - 2×3×4×5]
＋。
。。
＋(1/4)×[n×(n+1)×(n+2)×(n+3) - (n-1)×n×(n+1)×(n+2)]
= (1/4)×n×(n+1)×(n+2)×(n+3)
[3] 相邻m个正整数乘积和
＜k=1 to n＞∑k×(k+1)×(k+2)×。
。。×(k+m-1)
=＜k=1 to n＞∑[1/(m+1)]×
[k×(k+1)×。。。×(k+m)-(k-1)×k×。。。×(k+m-1)]
=[1/(m+1)]×k×(k+1)×。。。×(k+m)
[4] 相邻两个正整数乘积倒数和
＜k=1 to n＞∑1/[k×(k+1)]
=＜k=1 to n＞∑[1/k - 1/(k+1)]
=1 - 1/(n+1)
[5] 相邻三个正整数乘积倒数和
＜k=1 to n＞∑1/[k×(k+1)×(k+2)]
=＜k=1 to n＞∑(1/2)×{1/[k×(k+1) - 1/[(k+1)×(k+2)]}
=(1/2)×{1/(1×2) - 1/[(n+1)×(n+2)]}
[6] 相邻m个正整数乘积倒数和
＜k=1 to n＞∑k×(k+1)×(k+2)×。
。。×(k+m-1)
=＜k=1 to n＞∑[1/(m-1)]×
{1/[k×(k+1)×。。。×(k+m-2)] - 1/[(k+1)×(k+2)×。。。×(k+m-1)]}
=[1/(m-1)]×{1/[1×2×。。。×(m-1)] - 1/[(n+1)×(n+2)×。
。。×(n+m-1)]}
【说明】
以上裂项相消求和法，可以推广到“等差数列”等。
。
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