本报告完成时间丨2020年9月10日
介绍
在前期的研究报告《沪深 300 股指期权价格变动归因分析(一)》及《沪深 300 股指期权价格变动归因分析(二)》当中，我们采用主要由一阶希腊字母构成的模型对沪深300期权价格的变动进行了分析。使用希腊字母来对期权价格变动进行归因分析的实质是利用泰勒级数展开拟合一个复杂函数随其影响因子变化而在变量空间中产生的位移。在泰勒展开式中，使用一阶展开项建模代表对位移的线性拟合。根据泰勒展开式的原理，当单个因素变动较大的时候，受高阶非线性变化的影响，使用一阶希腊字母构造的模型对期权价格变动的解释度将会大幅下降。为了提升模型的解释度，我们也许需要引入除 Gamma 以外的更多二阶希腊字母。
图1展示了部分希腊字母的衍生图，方块旁边绿色的字母代表其上级衍生这个分支时的偏导数对象。其中，蓝色代表一阶希腊字母，也就是我们常用的Delta，Theta，Rho，Vega。黄色代表二阶希腊字母(重复项为淡色)，由一阶字母再次对基础变量进行求导得到。橘色则代表三阶希腊字母，同样由对二阶字母再次求导得到。在二阶希腊字母中，Vera由Rho衍生得到。Rho代表无风险利率对股指期权价格的影响，其本身对股指期权价格的影响微乎其微，我们对它的衍生字母Vera暂不做讨论。同样的，三阶字母在泰勒级数展开中对应的乘数极小，对期权价格也难以产生较大影响，不做讨论。本文接下来将重点介绍的是Veta， Charm，Vanna，Vomma这4个二阶希腊字母的计算公式及其推导。
一、 Veta
Veta是期权价格相对于波动率以及时间的二阶混合偏导数。我们可以把它写作Vega相对于 时间t的偏导数或者Theta相对于波动率σ的偏导数。由于看涨期权与看跌期权的Vega表达式相 同，看涨期权与看跌期权的Veta以及其他由 Vega衍生的二阶希腊字母表达式也保持一致：
已知Vega的公式为：
其中，∅代表正态分布的密度函数，∅(𝑥)的公式为：
BS模型d1，d2的公式为：
所以Veta可以重写为：
为了方便表述，这里我们把T−t写作τ。所以，原式可以写作：
我们按乘积法则以及链式法则将1.
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