柯西不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）是数学中一个非常基本且重要的不等式，它有多种表述方式，但最常见的是向量形式和数列形式。这里我们再次回顾一下这两种形式及其证明思路。
向量形式
设 a = ( a 1 , a 2 , … , a n ) \mathbf{a} = (a_1, a_2, \ldots, a_n) a=(a1,a2,…,an) 和 b = ( b 1 , b 2 , … , b n ) \mathbf{b} = (b_1, b_2, \ldots, b_n) b=(b1,b2,…,bn) 是两个 n n n 维实向量，则柯西不等式可以表述为：
∣ a ⋅ b ∣ ≤ ∥ a ∥ ∥ b ∥ |\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}| \leq \|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\| ∣a⋅b∣≤∥a∥∥b∥
其中， a ⋅ b \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} a⋅b 是 a \mathbf{a} a 和 b \mathbf{b} b 的点积，即 a 1 b 1 + a 2 b 2 + ⋯ + a n b n a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n a1b1+a2b2+⋯+anbn； ∥ a ∥ \|\mathbf{a}\| ∥a∥ 和 ∥ b ∥ \|\mathbf{b}\| ∥b∥ 分别是 a \mathbf{a} a 和 b \mathbf{b} b 的模长，即 a 1 2 + a 2 2 + ⋯ + a n 2 \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2} a12+a22+⋯+an2 和 b 1 2 + b 2 2 + ⋯ + b n 2 \sqrt{b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2} b12+b22+⋯+bn2。
证明思路：
- 构造一个新的向量 c = b − b ⋅ a a ⋅ a a \mathbf{c} = \mathbf{b} - \frac{\mathbf{b} \cdot \mathbf{a}}{\mathbf{a} \cdot \mathbf{a}} \mathbf{a} c=b−a⋅ab⋅aa。
- 利用向量的模长非负性，即 ∥ c ∥ 2 ≥ 0 \|\mathbf{c}\|^2 \geq 0 ∥c∥2≥0。
- 展开 ∥ c ∥ 2 \|\mathbf{c}\|^2 ∥c∥2 并化简，最终得到柯西不等式的形式。
数列形式
设 a 1 , a 2 , … , a n a_1, a_2, \ldots, a_n a1,a2,…,an 和 b 1 , b 2 , … , b n b_1, b_2, \ldots, b_n b1,b2,…,bn 是两组实数，则柯西不等式可以表述为：
( a 1 2 + a 2 2 + ⋯ + a n 2 ) ( b 1 2 + b 2 2 + ⋯ + b n 2 ) ≥ ( a 1 b 1 + a 2 b 2 + ⋯ + a n b n ) 2 (a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2) \geq (a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n)^2 (a12+a22+⋯+an2)(b12+b22+⋯+bn2)≥(a1b1+a2b2+⋯+anbn)2
证明思路（基于向量形式）：
- 将数列 a 1 , a 2 , … , a n a_1, a_2, \ldots, a_n a1,a2,…,an 和 b 1 , b 2 , … , b n b_1, b_2, \ldots, b_n b1,b2,…,bn 分别视为 n n n 维向量 a = ( a 1 , a 2 , … , a n ) \mathbf{a} = (a_1, a_2, \ldots, a_n) a=(a1,a2,…,an) 和 b = ( b 1 , b 2 , … , b n ) \mathbf{b} = (b_1, b_2, \ldots, b_n) b=(b1,b2,…,bn) 的坐标。
- 应用向量形式的柯西不等式 ∣ a ⋅ b ∣ ≤ ∥ a ∥ ∥ b ∥ |\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}| \leq \|\mathbf{a}\| \|\mathbf{b}\| ∣a⋅b∣≤∥a∥∥b∥。
- 平方两边并去掉绝对值符号（因为平方后总是非负的），得到数列形式的柯西不等式。
注意：在数列形式中，当且仅当存在实数 k k k 使得 a i = k b i a_i = kb_i ai=kbi（对所有 i i i）时，不等式取等号。这个条件在向量形式中对应的是两个向量共线。
今天的文章 高中知识——柯西不等式分享到此就结束了，感谢您的阅读。
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