绝对值不等式6个基本公式

编程基础 • 2024-12-04 21:30 • 阅读 7

$绝对值不等式的公式为：$

$||a|-|b||\leq|a\pm b|\leq|a|+|b|$

$\begin{matrix}-\left|a\right|\leq a\leq\left|a\right| &\text{①}\\ \\ -\left|\text{b}\right|\leq\text{b}\leq\left|\text{b}\right|&\text{②}\\ \\ -\left|\text{b}\right|\leq\text{-b}\leq\left|\text{b}\right|&\text{③}\end{matrix}$

$而$
$\begin{array}{l}\left|a\right|=\left|(a+b)-b\right|=\left|(a-b)+b\right|\\ \left|b\right|=\left|(b+a)-a\right|=\left|(b-a)+a\right|\end{array}$

$\begin{array}{l}\left|a\right|=\left|(a+b)-b\right|\leq\left|a+b\right|+\left|-b\right|\Rightarrow \left|a\right|-\left|b\right|\leq\left|a+b\right|&\text{⑥}\\ \left|b\right|=\left|\left(b+a\right)-a\right|\leq\left|b+a\right|+\left|-a\right|\Rightarrow \left|a\right|-\left|b\right|\geq-\left|a+b\right|&\text{⑦}\end{array}$

$\begin{array}{l}\left|a\right|=\left|(a-b)+b\right|\le\left|a-b\right|+\left|b\right|=>\left|a\right|-\left|b\right|\le\left|a-b\right|&\text{⑧}\\ \left|b\right|=\left|(b-a)+a\right|\le\left|b-a\right|+\left|a\right|=>\left|a\right|-\left|b\right|\ge-\left|a-b\right|&\text{⑨}\end{array}$

$由⑥，⑦得：||a|-|b||\leq|a+ b|\\或者：\\|a|=|a+b-b|\leq|b|+|a+b|\rightarrow |a|-|b|\leq|a+ b|\\a,b交换\rightarrow |b|-|a|\leq|a+ b|$

$由⑧，⑨得：||a|-|b||\leq|a- b|\\或者：\\|a|=|a-b+b|\leq|b|+|a-b|\rightarrow |a|-|b|\leq|a- b|\\a,b交换\rightarrow |b|-|a|\leq|a- b|$

$等号成立的条件（特别是求最值），即：\\\begin{array}{l}\left|a-b\right|=\left|a\right|+\left|b\right|\rightarrow ab\leq0\\ \left|a\right|-\left|b\right|=\left|a+b\right|\rightarrow b(a+b)\leq0\\ \left|a\right|-\left|b\right|=\left|a-b\right|\rightarrow b(a-b)\geq0\end{array}$

$|a|-|b|=|a+b|\\\rightarrow |a|=|b|+|a+b|\\\rightarrow |a+b-b|=|b|+|a+b|$

$\left|a\right|-\left|b\right|=\left|a-b\right|\\\rightarrow |a|=|b|+|a-b|\\\rightarrow |a-b+b|=|b|+|a-b|$

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绝对值不等式6个基本公式

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