微积分-第三章指数函数与对数函数

第三章指数函数与对数函数

3.1 基础定义

大家还记得在第一章函数中关于指数和对数的注释吗？让我们简单的回顾一下。

3.1.1 指数

简单的来说，指数函数是指将一个实数作为底数提升为指数次方的幂。
$底数^{指数}$
例如： $2^{3}$ 是以2为底数3为指数的一个幂。 $f(x)=2^x$ 则是以2为底的指数函数。

为了使指数便于定义，规定其底数必须大于0且不能等于1，指数是任意实数。指数具有许多的法则和性质，可以帮助我们进行指数运算。对于任意底数 $b > 0$ ，和任意正数 $x$ 和 $y$ :

$b^0=1$ 任意底数的零次幂都是1
$b^1=b$ 任意底数的1次幂都是它自身
$b^x)^y=b^{xy}$ 当取幂的幂时，将其指数相乘
$b^x \times b^y=b^{(x + y)}$ 同底数的两个幂相乘时，将其指数相加
$\frac{b^x}{b^y} = b^{x-y}$ 同底数的两个幂相除时，将分子的指数减去分母的指数
$b^{\frac{y}{x}}=\sqrt[x]{b^y}$ 底数的分数次幂等于底数提升到分子次方然后开分母次方根
$b^{-x}=(\frac{1}{b})^x$ 底数的负数次幂等于底数的倒数的正数次幂。
$1^x=1$ 1的任意次幂都是1
$0^x=0$ 0的任意次幂都是0，但是 $0^0$ 是未定义的

3.1.2 对数

对数是指数的逆运算。简单的来说对数是指将底数 $b$ 在幂运算中提升为真数 $y$ 的指数。
$b^{\log_{b}{(y)}}=y$
这个恒等式对于任意底数 $b > 0$ 且 $\neq 1$ 和任意真数 $y > 0$ 成立。要求 $b > 0$ 是因为对数函数是指数的逆运算。如果 $b < 0$ 则会出现未定义的情况。如当 $b = - 1$ ， $y=\frac{1}{2}$ 时就会出现 $\sqrt{-1}$ ,我们知道二次方根下不能为负。所以 $b > 0$ 。要求 $y >0 $是因为正数的任意次幂都为正，我们不可能将一个正数提升任意次幂得到一个负数或 0 。而要求$ b \neq 1$是因为1的任意次幂都是它自身。而 $1^{log_1(y)}=y$ 中的 $y$ 可能不是1，当 $y$ 不为1时，上式是不成立的。

考虑 $log_{2}{8}$ ，它表示的是在幂运算中能够将2提升为8的x。也就是说 $2^x=8$ ，这很容易就可以解出来 $x = 3$ 。

对数是指数的逆运算，所以指数的所有法则在对数中都有对应的版本。但对数中一条换底法则在指数中没有对应的法则。对于任意底数 $b > 0$ 且 $\neq 1$ ,和实数 $x > 0$ 与 $y > 0$ ：

$log_{b}(1)=0$ ：任何底数的1的对数都是0。
$log_{b}(b)=1$ ：任何数的自身的对数都是1。
$\log_{b}(x \times y)=\log_{b}(x)+\log_{b}(y)$ ：同底数对数相加时，将其真数相乘。
$\log_{b}(\frac{x}{y})=\log_{b}(x)-\log_{b}(y)$ ：同底数对数相减时，将其真数相除。
$log_{b}(x^n)=n\log_{b}(x)$ ：n倍的对数等于将对数的真数提升n次方。
$\log_{b}(x)=\frac{\log_{c}(x)}{\log_{c}(b)}$ ：这称为换底公式。

对于任意的介于0到1之间的b，我们有：$\log_{b}(y)=-\log_{\frac{1}{b}}(y) $, 其中$ \frac{1}{b} > 0$。这是因为在指数中我们有 $b^{-x}=(\frac{1}{b})^x$ 。

通过换底公式对于同一个数，不同底数的对数之间的关系是线性的，即它们是对方的常数倍。因此，不同底数的对数函数的图像在形状上是相似的，只是在垂直方向上进行了平移。这种平移的大小取决于底数的选择。

指数也具有一个换底公式：
$b^x=c^{xlog_c(b)}$
但是因为它涉及到对数所以通常不会被列入指数法则中。

3.1.3 指数函数与对数函数

形如 $f(x)=b^x$ 的函数成为指数函数。其中$b >0 $且$ b \neq 1 $。它的定义域为整体实数集$ R $, 值域为$ (0,+\infty)$。

对于形如 $f(x) = b^x$ 的指数函数，当 $b > 1$ 时，函数是增函数，其图像在第一、二象限；当 $0 < b < 1$ 时，函数是减函数，其图像在第二、三象限。无论 $b$ 的具体值是多少，只要满足 $b > 0$ 且 $\neq 1$ ，其基本形状都是一样的，只是在垂直方向上进行了平移和缩放。

指数函数的性质决定了其图像的形状。对于任何正实数 $b$ （ $\neq 1$ ），函数 $f(x) = b^x$ 都会通过点 $(0, 1)$ ，并且当 $x$ 趋于负无穷时， $y$ 趋于 0（如果 $b > 1$ ）或者趋于正无穷（如果 $0 < b < 1$ ；当 $x$ 趋于正无穷时， $y$ 也趋于正无穷（如果 $b > 1$ ）或者趋于 0（如果 $0 < b < 1$ ）。这些性质决定了所有指数函数的图像在形状上都是相似的。

指数函数的图像：
指数函数,b>1

指数函数，0 <b <1

从图像中我们不难看出指数函数是具有反函数 $f^{-1}$ 的。对数是指数的逆运算，所以有 $f^{-1}(x)=log_b(x)$ 。我们知道反函数与原函数关于直线 $y = x$ 对称。我们很容易可以画出对数函数的图像。

对数函数，b>1

对数函数，0<b<1