一元函数积分学的计算

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一函数积分学的计算

一、基本积分公式

$\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C$
$\int a^xdx=\frac{a^x}{\ln a}+C~(a>0且a\ne0)$
$\int\tan xdx=-\ln|\cos x|+C$
$\int\cot xdx=\ln|\sin x|+C$
$\int\frac{1}{\cos x}dx=\ln|\sec x+\tan x|+C$
$\int\frac{dx}{\sin x}=\ln|\csc x-\cot x|+C$
$\int\sec^2xdx=\tan x+C$
$\int\csc^2xdx=-\cot x+C$
$\int\sec x\tan xdx=\sec x+C$
$\int\csc x\cot xdx=-\csc x+C$
$\int\frac{1}{1+x^2}dx=\arctan x+C$
$\int\frac{1}{a^2+x^2}dx=\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}+C(a>0)$
$\int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsin x+C$
$\int\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=\arcsin\frac{x}{a}+C(a>0)$
$\int\frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}dx=\ln(x+\sqrt{x^2+a^2})+C$
$\int\frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}dx=\ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|+C(|x|>|a|)$
$\int\frac{1}{x^2-a^2}dx=\frac{1}{2a}\ln|\frac{x-a}{x+a}|+C$
$\int\frac{1}{a^2-x^2}dx=\frac{1}{2a}\ln|\frac{x+a}{x-a}|+C$
$\int\sqrt{a^2-x^2}dx=\frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a}+\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+C(a>|x|\ge0)$
$\int\sin^2xdx=\frac{x}{2}-\frac{\sin2x}{4}+C$
$\int\cos^2xdx=\frac{x}{2}+\frac{\sin2x}{4}+C$
$\int\tan^2xdx=\tan x-x+C$
$\int\cot^2xdx=-\cot x-x+C$

二、不定积分的计算

1. 凑微分法

$\int f[g(x)]g'(x)dx=\int f[g(x)]d[g(x)]=\int f(u)du.$

2. 换法

$\int f(x)dx=^{x=g(u)}\int f[g(u)]d[g(u)]=\int f[g(u)]g'(u)du.$

3. 分部积分法

$\int udv=uv-\int vdu.$
$\int uv^{(n+1)}dx=uv^{(n)}-u'v^{(n-1)}+u''v^{(n-2)}-\cdots+(-1)^nu^{(n)}v+(-1)^{n+1}\int u^{(n+1)}vdx.$

4. 有理函数的积分

将形如 $\int \frac{P_n(x)}{Q_m(x)}dx(n<m)$ 的式子用因式分解的方法拆分为多项之和（差），再进行积分。

三、定积分的计算

1. 基本公式

$偶函数：\int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_0^af(x)dx$
$奇函数：\int_{-a}^a=0$
$\int_0^\pi xf(\sin x)dx=\frac{\pi}{2}\int_0^\pi f(\sin x)dx=\pi\int_0^\frac{\pi}{2}f(\sin x)dx$
$\int_0^\frac{\pi}{2}f(\sin x)dx=\int_0^\frac{\pi}{2}f(\cos x)dx$
$\int_0^\frac{\pi}{2}f(\sin x,\cos x)dx=\int_0^\frac{\pi}{2}f(\cos x,\sin x)dx$
$\int_a^bf(x)dx=\int_{-\frac{\pi}{2}}^\frac{\pi}{2}f(\frac{a+b}{2}+\frac{b-a}{2}\sin t)\cdot\frac{b-a}{2}\cos tdt$
$\int_1^{xy}f(t)dt=x\int_1^yf(t)dt+y\int_1^xf(t)dt$

2. 区间再现公式

$\int_a^bf(x)dx=\int_a^bf(a+b-x)dx$
$\int_a^bf(x)dx=\frac{1}{2}\int_a^b[f(x)+f(a+b-x)]dx$
$\int_a^bf(x)dx=\int_a^\frac{a+b}{2}[f(x)+f(a+b-x)]dx$

3. 华里士公式

$\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^nxdx=\int_0^\frac{\pi}{2}\cos^nxdx= \left\{\begin{matrix} \frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\dots\frac{2}{3}\cdot1 & n为大于1的奇数 \\ \frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\dots\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2} & n为正偶数 \end{matrix}\right.$
$\int_0^\pi\sin^nxdx= \left\{\begin{matrix} 2\cdot\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\dots\frac{2}{3}\cdot1 & n为大于1的奇数 \\ 2\cdot\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\dots\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2} & n为正偶数 \end{matrix}\right.$
$\int_0^\pi\cos^nxdx= \left\{\begin{matrix} 0 & n为正奇数 \\ 2\cdot\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\dots\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2} & n为正偶数 \end{matrix}\right.$
$\left\{\begin{matrix} \int_0^{2\pi}\sin^nxdx \\ \int_0^{2\pi}\cos^nxdx \end{matrix}\right.= \left\{\begin{matrix} 0 & n为正奇数 \\ 4\cdot\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\dots\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2} & n为正偶数 \end{matrix}\right.$

4. 区间简化公式

$\int_a^bf(x)dx=\int_0^1(b-a)f\left[a+(b-a)t\right]dt$
$\int_{-a}^af(x)dx=\int_0^a\left[f(x)+f(-x)\right]dx(a>0)$

5. 含三角函数的积分等式

$\sin{(\pi\pm t)}=\mp\sin t$
$\cos{(\pi\pm t)}=-\cos t$
$\sin{(\frac{\pi}{2}\pm t)}=\cos t$
$\cos{(\frac{\pi}{2}\pm t)}=\mp\sin t$

6. 对称性问题、分段函数问题

需结合相关例题理解

四、变限积分的计算

$F(x)=\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(t)dt$
$F'(x)=f[\varphi_2(x)]\varphi_2'(x)-f[\varphi_1(x)]\varphi_1'(x)$

五、反常积分的计算

考虑对反常积分进行换，将其化为定积分处理，或是在求解过程中用极限的思想来解决瑕点的问题。

今天的文章一函数积分学的计算分享到此就结束了，感谢您的阅读。